Площадь правильного многоугольника

Онлайн калькулятор рассчитывает площадь правильного многоугольника  и выводит результат в разных единицах измерения. Он рассчитывает значения по известным величинам: площадь, количество сторон, длину сторон, радиус вписанной и описанной окружности. Калькулятор работает в двух направлениях.

Также смотрите другие калькуляторы

• Калькулятор для квадрата
• Калькулятор для прямоугольника
• Калькулятор для треугольника
• Калькулятор для прямоугольного треугольника
• Калькулятор для параллелограмма
• Калькулятор для ромба
• Калькулятор для трапеции
• Калькулятор для окружности и круга

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Ниже приведены основные формулы для вычисления площади, а также примеры для самых популярных фигур: треугольника, квадрата и шестиугольника.

1. Формула для расчета площади через длину стороны

Это универсальный способ, если известна сторона (a) фигуры и количество вершин (n).

S = (n × a² / 4) × ctg(180°/n)

где: a – длина стороны, n – число сторон.

Примеры для частных случаев:

• Треугольник (n=3): S = (a² × √3) / 4
• Квадрат (n=4): S = a²
• Шестиугольник (n=6): S = (3√3 × a²) / 2

2. Формула для расчета площади через радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности (r) — это расстояние от центра до любой из сторон.

S = n × r² × tg(180°/n)

где: r – радиус вписанной окружности, n – число сторон.

Примеры для частных случаев:

• Треугольник (n=3): S = 3√3 × r²
• Квадрат (n=4): S = 4r²
• Шестиугольник (n=6): S = 2√3 × r²

3. Формула для расчета площади через радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности (R) — это расстояние от центра до любой вершины.

S = (n × R² / 2) × sin(360°/n)

где: R – радиус описанной окружности, n – число сторон.

Примеры для частных случаев:

• Треугольник (n=3): S = (3√3 × R²) / 4
• Квадрат (n=4): S = 2R²
• Шестиугольник (n=6): S = (3√3 × R²) / 2

Формулы для нахождения стороны и радиусов

Зная радиус описанной окружности (R) или вписанной (r), можно найти сторону (a_n) многоугольника.

Сторона через радиус описанной окружности:

a_n = 2R sin(180°/n)

Примеры для популярных фигур:

• Треугольник (n=3): a₃ = R√3
• Квадрат (n=4): a₄ = R√2
• Шестиугольник (n=6): a₆ = R

Связь радиусов описанной и вписанной окружности:

r = R cos(180°/n)

Это позволяет перейти от одной формулы к другой.

Практические примеры для n=3, n=4, n=6

Правильный треугольник (равносторонний)

S = (a² × √3) / 4

Пример: Сторона треугольника равна 6 см. S = (6² × 1,732) / 4 = (36 × 1,732) / 4 = 15,59 см².

Квадрат (правильный четырехугольник)

S = a²

Пример: Сторона квадрата равна 5 см. S = 5² = 25 см².

Правильный шестиугольник (гексагон)

S = (3√3 × a²) / 2

Пример: Сторона шестиугольника равна 4 см. S = (3 × 1,732 × 4²) / 2 = (3 × 1,732 × 16) / 2 = 83,14 / 2 = 41,57 см².

Универсальная формула (для любого n)

Если ваша фигура не относится к трем перечисленным выше, используйте основную формулу через сторону:

S = (n × a²) / (4 × tg(180°/n))

Важно! Во всех формулах используется одна и та же единица измерения. Если сторона указана в метрах, площадь будет получена в квадратных метрах. Для вычислений помните, что √3 ≈ 1,732, а √2 ≈ 1,414.