Понятие логарифма

Логарифм — это показатель степени, то есть в какую степень надо возвести число, которое стоит в основании, чтобы получить число в выражении логарифма.

Например, log₂8 означает: в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8
Получаем: log₂8=3 (то есть 2³=8)
Читается: как логарифм 8 по основанию 2 равен 3.

Понятие логарифма

Логарифм по основанию a от аргумента b — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

где a — основание, b — аргумент, x — чему равен логарифм.

Тождественное равенство:

Область допустимых значений (ОДЗ логарифма)

ОДЗ (область допустимых значений) логарифма – это множество всех действительных чисел, для которых определена данная функция.

ОДЗ логарифма:

Таким образом, область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма) состоит из трёх условий:

• Число x может быть любым, так как степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.
• Основание (a) — это всегда положительное число.
• Основание (a) не может быть равно единице, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.
• Аргумент (b) — всегда положительное число.

Виды логарифмов

• Логарифм по произвольному основанию — это логарифм, вычисленный для произвольного положительного числа a, отличного от 1. Логарифм по произвольному основанию обозначается как logₐb, где a — основание логарифма, а b — аргумент логарифма.
• Десятичный логарифм — логарифм, у которого основание равно 10.
  Обозначается lg (log₁₀b).
• Натуральный логарифм — логарифм, у которого основание равно e, где e— иррациональная константа, приблизительно равная 2,718 (более точно e=2,718281828459).
  Обозначается ln (log_eb).

Как посчитать логарифм

• Чтобы было проще, постарайтесь представить основание и аргумент в виде степеней с одинаковым основанием. 
• Все десятичные дроби нужно перевести в обыкновенные дроби.
• Разобраться, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Примеры логарифмов

Примеры, где основание равно 2
Определим, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить аргумент:
log₂(4)=2, log₂(8)=3, log₂(16)=4, log₂(32)=5, log₂(64)=6 .

Примеры, где основание равно 3
Определим, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить аргумент:
log₃(9)=2, log₃(27)=3, log₃(81)=4, log₃(243)=5.

Пример, в котором логарифм является иррациональным числом
Определим, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 10:
log₃(10)=2,095903. Здесь получится иррациональное число, которое можно вычислить с помощью специального калькулятора или онлайн калькулятора логарифмов. Если рассуждать логически, то результат будет лежать на промежутке: 3²<10<3³.

Пример с отрицательным логарифмом
log₅(1/125)=? 
Определим, в какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 1/125: 1/125 = 1/5³= 5^-3.
Получаем ответ: log₅(1/125)= 5^-3.

Пример с дробным логарифмом
log₆₄(4)=? 
Представим число 64 в виде числа 2 в степени: 64 = 2⁶. 
Определим, в какую степень нужно возвести 2⁶, чтобы получить 4 (или 2²).
Чтобы получить 2², нужно 2⁶ умножить на степень 1/3.
Получаем: log₆₄(4)=1/3 

Пример с нулевым логарифмом
log₈(1)=? 
Представим числа 8 и 1 в виде числа 2 в степени: 8= 2³, 1= 2⁰. 
Определим, в какую степень нужно возвести 2³, чтобы получить 2⁰.
Чтобы получить 2⁰, нужно (2³)⁰ = 2^3*0 .
Получаем: log₈(1)=0

Пример с десятичным логарифмом
log₁₀(100)=2 или lg(100)=2,
log₁₀(1000)=3 или lg(1000)=3,
log₁₀(10000)=4 или lg(10000)=4.

Онлайн калькуляторы для вычисления логарифмов

• Калькулятор логарифмов онлайн (для всех типов логарифмов)
• Калькулятор десятичного логарифма
• Калькулятор натурального логарифма

Также по теме:

• Понятие логарифма
• Основные свойства логарифмов
• График функции логарифма

Для освоения темы может понадобиться:

• Степень с натуральным показателем
• Степень с целым показателем
• Степень с целым отрицательным показателем
• Степень с дробным показателем