Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем — это произведение из нескольких одинаковых множителей. 
Например: 2 × 2 × 2 = 2³ = 8

• Пишется: сначала записывается повторяющийся множитель, а над ним указывается сколько раз он повторяется. Повторяющийся множитель в данном случае это 2. Повторяется он три раза. Поэтому над двойкой записываем тройку.
• Читается: «два в третьей степени равно восемь» или «третья степень числа 2 равна 8».

где:
a — основание степени; в выражении 2³ основанием степени является число 2.
n — показатель степени; в выражении 2³ показателем степени является число 3. 

В данной статье рассмотрена степень с натуральным показателем. То есть, показателем степени является натуральное число (натуральные числа —  это целые числа, которые больше нуля, например, 1, 2, 3 и т.д.).

Степень числа с показателем 1  есть само это число. Соответственно, если у числа отсутствует показатель, то надо считается, что показатель равен единице.
Например, числа 1, 2, 3 даны без показателя, поэтому их показатели будут равны единице. Каждое из этих чисел можно записать с показателем 1

Если возвести 0 в какую-нибудь степень, то получится 0. Действительно, сколько бы раз ничего не умножалось на само себя получится ничего.

• Пример 1. Возвести число 3 во вторую степень. Получим: 3² = 3 × 3 = 9
• Пример 2. Возвести число 2 в четвертую степень. Получим: 2⁴ =2 × 2 × 2 × 2 = 16

Возведение в степень числа 10

Чтобы возвести в степень число 10, достаточно дописать после единицы количество нулей, равное показателю степени.

• 10¹ = 10
• 10² = 10 × 10 = 100
• 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000
• 10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000

Чтобы представить числа 10, 100, 1000 и 10000 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать число, равное количеству нулей исходного числа.

• Число 10 имеет один нуль, значит, число 10 в виде степени  будет представлено как 10¹: 10 = 10¹
• Число 100 содержит два нуля, значит, число 100 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10²: 100 = 10² и т.д. 

Возведение в степень отрицательного числа

При возведении в степень отрицательного числа, его обязательно нужно заключить в скобки.
Это делается для того, чтобы поставить правильный знак при взведении в четную или нечетную степень.

Рассмотрим примеры: возведем число (-2) в четную и нечетную степень.

(−2)² = (−2) × (−2) = 4

Если мы не заключим в скобки число −2, то мы будем вычислять выражение −2² или -(2²), которое будет равно −4: сначала выполняется операция возведения в степень, а затем выполняется взятие противоположного значения. 

Если мы число -2 заключаем в скобки, то выполняем операцию возведения в степень с учетом знака: сначала выполняется взятие противоположного значения, а затем во вторую степень возводится отрицательное число −2. В результате получается положительный ответ 4, поскольку произведение отрицательных чисел есть положительное число.

(−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8

(−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Таким образом, при возведении в степень отрицательного числа может получиться либо положительный ответ либо отрицательный. Знак ответа зависит от показателя исходной степени.

Нахождение значений выражений

При нахождении значений выражений, не содержащих скобки, возведение в степень будет выполняться в первую очередь, далее умножение и деление в порядке их следования, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.

Пример 1. Найти значение выражения 2 + 5²
Сначала выполняется возведение в степень: 5² = 25.
Затем этот результат складывается с числом 2: 2 + 5² = 2 + 25 = 27

Пример 2. Найти значение выражения −6² × (−12)
Сначала выполняется возведение в степень: заметим, что число −6 не взято в скобки, поэтому во вторую степень будет возведено число 6, затем перед результатом будет поставлен минус: −6²  = −36 
Затем полученное  значение умножим на (−12): −6² × (−12) = −36 × (−12) = 432

Если выражение содержит скобки, то сначала нужно выполнить действия в этих скобках, далее возведение в степень, затем умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Пример 3. Найти значение выражения (3² + 1 × 3) − 15 + 5
Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок применяем ранее изученные правила, а именно сначала возводим во вторую степень число 3, затем выполняем умножение 1 × 3, затем складываем результаты возведения в степень числа 3 и умножения 1 × 3.
Далее выполняется вычитание и сложение в порядке их следования: (3² + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2

Свойства степеней

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a — основание степени
m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Пример. 2²×2³= 2²⁺³= 2⁵

Свойство 2: частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю
m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Пример. 2⁷:2³= 2^7-3= 2⁴

Свойство 3: возведение степени в степень

При возведении степень в степень основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

a — основание степени
m, n — показатели степени, натуральное число/

Пример. (3²)² = 3⁴ = 81

Свойство 4: возведение в степень произведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

a, b — основание степени
n — показатели степени, натуральное число

Пример. (2×4)³= 2³×4³=8+64=72

Свойство 5: возведение в степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

a, b — основание степени, b ≠ 0, 
n — показатель степени, натуральное число

Пример. (6:2)³= 6³:2³=216:8=27

Возведение в степень обыкновенных дробей

Чтобы возвести в степень обыкновенную дробь, нужно возвести в указанную степень числитель и знаменатель этой дроби.

Пример.(1/6)³= 1³/6³

Возведение в степень десятичных дробей

При возведении в степень десятичной дроби её необходимо заключить в скобки.
Например, возведём в третью степень десятичную дробь -1,5. Показатель степени является нечётным числом, значит ответ будет отрицательным и равен -3,375.

Допускается переводить десятичную дробь в обыкновенную и возводить в степень эту обыкновенную дробь. Решим предыдущий пример, переведя десятичную дробь в обыкновенную:
(15/10)³=(3/2)³= 3³/2³