Степень с целым отрицательным показателем

В статье рассмотрим  степень с целым отрицательным показателем: определения, виды, вычисление степени, формулы для быстрого расчета.

Примеры степени с целым отрицательным показателем выглядят следующим образом: 2−2, 10−7a−8.

Чтобы разобраться с ними, рассмотрим следующую последовательность степеней: 2−5, 2−4, 2−3, 2−2, 2−1, 20, 21, 22, 23, 24, 25.

  • Степень с натуральным показателем в этой последовательности: 21, 22, 23, 24, 25
  • Нулевая степень в этой последовательности это степень 20.
  • Предыдущая степень с целым показателем будет уже с отрицательным показателем и выглядеть как 2−1. Степень с целым отрицательным показателем в этой последовательности: 2−5, 2−4, 2−3, 2−2, 2−1.

Вычисление степени с целым отрицательным показателем

В отрицательную степень число возводится по-другому: если при возведении в положительную степень число увеличивается, то при возведении в отрицательную степень это число наоборот уменьшается.

Например, возьмём число 2 и возведем его  в неотрицательную степень:

  • нулевая степень: 20 =1
  • степень с нутуральным показателем: 
    21=2,
    22=2*2=4,
    23=2*2*2=8,
    24=2*2*2*2=16 и т.д.

Получили последовательность чисел, в которой каждое число больше следующего числа в 2 раза. Тогда логично предположить, что число, располагающееся до единицы, будет в два раза меньше единицы. Его можно получить, если 1 разделить на 2.

  • Получается, что степень 2−1 =1/2. 
  • Предыдущее число 2−2 должно быть в два раза меньше, чем 2−1. Чтобы его получить разделим  на 2 и получим  2−2 =1/(2*2)=1/4. 
  • Предыдущее число 2−3 должно быть в два раза меньше, чем 2−2. Чтобы его получить разделим  на 2 и получим  2−3 =1/(2-2*2)=1/8. 

Заметим, что в данной последовательности значения степеней с отрицательными показателями являются обратными числами к значениям степеней с натуральными показателями:

  • Значение степени в 22 есть число 4, а значение степени 2−2 есть число 1/4. Числа 4 и 1/4 являются обратными друг другу.
  • Значение степени в 23 есть число 8, а значение степени 2−3 есть число 1/8. Числа 8 и 1/8 являются обратными друг другу.

Можно сделать вывод, что для вычисления степени с отрицательным показателем, нужно записать дробь,  в числителе которой единица, а в знаменателе та же самая степень, но с противоположным показателем.

Таким образом, чтобы вычислить степень вида 2−n , можно воспользоваться следующим правилом:

Правило  работает только тогда, когда a ≠ 0. Если a будет равным нулю, то в знаменателе получим 0, а на нуль делить нельзя.

Данное правило можно доказать, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Допустим, нам нужно высислить степень в целым отрицательным показателем 2−2. Использую правило деления степеней с одинаковыми основаниями записшем 2−2 как  2(3-5) = 2: 25. Запишем это деление в виде дроби. Получим:

 

Пример 1. Найти значение выражения 3−3

Пример 2. Найти значение выражения (-2/3)−3

Формула для возведения обыкновенных дробей в отрицательную степень:

Желательно уметь возводить обыкновенную дробь в отрицательную степень как с помощью формулы, так и без неё.

Тождественные преобразования степеней с целым отрицательным показателем

Все тождественные преобразования, которые мы рассматривали при изучении степени с натуральным показателем, сохраняются и для степеней с целыми отрицательными показателями.

Пример 3. Найти значение выражения 2−1 × 2−3.
Воспользуеся основным свойством степени:
2−1 × 2−3 = 2−1 + (−3) = 2−4=1/16 

Пример 4. Найти значение выражения 5−15 × 516.
Воспользуемся основным свойством степени:
5−15 × 516 = 5−15 + 16 = 5= 5

Пример 5. Найти значение выражения (10−4)−1
Воспользуемся правилом возведения степени в степень:
(10−4)−1 = 10−4 × (−1) = 104 = 10000

Пример 6. Найти значение выражения (10−6)/(5−6)
Представим число основание 10 в виде произведения 2×5. Тогда числитель примет вид (2×5)−6

 

 

Admin
Оцените статью
ПОЛЕЗНЫЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ УЧЕБЫ И РАБОТЫ
Добавить комментарий

Этот сайт защищен reCAPTCHA и применяются Политика конфиденциальности и Условия обслуживания применять.

Срок проверки reCAPTCHA истек. Перезагрузите страницу.