Степень с целым показателем

Степень с целым показателем — это степень, показателем которой является любое целое число: натуральное, нулевое или отрицательное целое. В статье рассмотрим, как производить вычисления и преобразовывать выражения, содержащие разные степени показателей.

Степень с натуральным показателем

Этот вид степени также является степенью с целым показателем, поскольку натуральные числа относятся к целым числам.
Степень с натуральным показателем — это произведение из нескольких одинаковых множителей.
Например: 2 × 2 × 2 = 2³ = 8 (читается: «два в третьей степени равно восемь» или «третья степень числа 2 равна 8»).
В данной записи:
— a — основание степени; в выражении 2³основанием степени является число 2.
— n — показатель степени; в выражении 2³показателем степени является число 3.

Степень с нулевым показателем

Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

Степень с целым отрицательным показателем

Число с отрицательным показателем степени равно дроби, у которой:
числитель — единица, а знаменатель- данное число с положительным показателем.

Примеры: степень с разным показателем

Степень с натуральным показателем в этой последовательности: 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵
Нулевая степень в этой последовательности это степень 2⁰.
Предыдущая степень с целым показателем будет уже с отрицательным показателем и выглядеть как 2⁻¹. Степень с целым отрицательным показателем в этой последовательности: 2⁻⁵, 2⁻⁴, 2⁻³, 2⁻², 2⁻¹.

Вычисление степени с целым отрицательным показателем

Например, возьмём число 2 и возведем его в разную степень:

нулевая степень: 2⁰ =1
степень с натуральным показателем:
2¹=2,
2²=2*2=4,
2³=2*2*2=8 и т.д.
степень с отрицательным показателем:
2⁻¹ =1/2,
2⁻² =1/(2*2)=1/4,
2⁻³ =1/(2-2*2)=1/8 и т.д.

Заметим, что в данной последовательности значения степеней с отрицательными показателями являются обратными числами к значениям степеней с натуральными показателями.

Действия над степенями с разными показателями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести произведение в степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:

Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Если в равенстве a⁻ⁿ=1/aⁿ поменять местами левую и правую часть, то получим равенство 1/aⁿ= a⁻ⁿ. Это позволяет заменять в выражениях дробь вида на тождественно равное ей выражение a⁻ⁿ.