Деление многочлена

Деление многочлена — это операция деления, в которой нужно разделить многочлен на другой многочлен или одночлен. Рассмотрим разные случаи деления многочленов, чтобы разобраться в данной теме.

Перед изучением данной темы повторите: многочлены,  формулы сокращенного умножения и разложение многочлена на множители.

Деление многочлена на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно разделить каждый член многочлена на одночлен, затем сложить полученные частные.

Пример 1. Разделить многочлен 15x²y³ + 10xy² + 5xy³ на одночлен xy.
— Делим каждый член многочлена 15x²y³ + 10xy² + 5xy³> на одночлен xy. 
— Получающиеся частные сложим: 15xy² + 10y + 5y².
— Проверка: произведение полученного многочлена 15xy² + 10y + 5y² и делителя xy должно быть равно многочлену 15x²y³ + 10xy² + 5xy³ : 
(15xy² + 10y + 5y²)*xy = 15x²y³ + 10xy² + 5xy³

Деление многочлена на одночлен очень похоже на сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Одночлен берёт на себя роль общего знаменателя для всех членов многочлена.

Например, при делении многочлена ax + bx + cx на многочлен x, образуется три дроби с общим знаменателем x. Вычисление каждой дроби даст в результате многочлен a + b + c.

Деление одночлена на многочлен

Не существует тождественного преобразования, позволяющего разделить одночлен на многочлен.

Пример 2. Разделить одночлен 2xy на многочлен 5x + 3y + 5.
Результатом этого деления должен быть одночлен 2xy, который получается путем умножения многочлена 5x +3y+5  и другого одночлена или многочлена. Но такого не существует.

Но в учебниках можно встретить задания на нахождение значения выражения при заданных значениях переменных. В этом случае никаких преобразований выполнять не нужно. Достаточно подставить значения переменных в исходное выражение и вычислить получившееся числовое выражение.

При этом делимое и делитель можно записать в качестве дроби и упростить выражение для дальнейших вычислений.

Деление многочлена на многочлен

Если первый многочлен умножить на второй многочлен, получается третий многочлен. Например, если умножить многочлен x+5 на многочлен x+3, получается многочлен x²+8x+15.
Тогда согласно этому правилу, деление полученного нами многочлена x² + 8x + 15 на многочлен x + 3 должно давать в результате многочлен x + 5.

Для решения примеров, где в качестве делимого и делителя являются многочлены, часто требуются формулы разложения многочлена на множители. При этом для каждого примера нужно подбирать наиболее подходящие.

Пример 3. Разделить многочлен x²+8x+15 на многочлен x+5.
Чтобы выполнить деление многочлена на многочлен, нужно воспользоваться разложением многочлена на множители. Для выражения x²+8x+15 можно применить способ группировки:
x²+3x+5x+15 =
x(x+3)+5(x+3) =
(x+3)(x+5).
Получаем, что нам нужно разделить (x+3)(x+5) на x+5. Данные действие в этом случае выполняется просто, в итоге получаем многочлен x+3.

После выполнения деления можно выполнить проверку, умножив частное на делитель. В нашем случае, если частное x + 5 умножить на делитель x + 3, должен получаться многочлен x² + 8x + 15:
(x + 5)(x + 3) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15

Пример 4. Разделить многочлен x² − 8x + 7 на многочлен x − 7
— Разложим многочлен на множители способом группировки: x² − 8x + 7 =x² − 7x  − 1x+ 7 = x(x-7)- 1(x-7) = (x-7)(x-1)
(единица записана для наглядности, при решении примеров она не записывается).
— Делим выражение (x-7)(x-1) на x−7 и получаем x-1.

Следует быть внимательным c отрицательными членами. Часто на этом этапе допускаются ошибки. В этом случае лучше поэтапно раскладывать многочлены на множители и прописывать все знаки.

Также бывают случаи, когда за скобки нужно такой множитель,  чтобы в скобках остался делитель. 

Пример 5. Разделить многочлен x⁶ + 2x⁴ + x⁷ + 2x⁵ на многочлен x² + x³
— Перегруппируем слагаемые и разложим многочлен на множители таким образом, чтобы одно из слагаемых было x² + x³:
x⁶ +x⁷ + 2x⁴+2x⁵ =
x⁴(x² + x³)+2x²(x² + x³) =
(x⁴ + 2x²)(x² + x³).
— Делим выражение (x⁴ + 2x²)(x² + x³) на x² + x³ и получаем x⁴ + 2x².
— Выполним проверку:  (x⁴ + 2x²)(x² + x³) = x⁴ (x² + x³) + 2x²(x² + x³) = x⁶ + 2x⁴ + x⁷ + 2x⁵
— При перемножении многочленов члены исходных многочленов тоже желательно упорядочивать в порядке убывания степеней: x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴.

Часто при решении примеров нужно применять формулы сокращенного умножения.

Пример 6. Разделить многочлен x⁴ + 6x⁴ + 9 на многочлен x² + 3.
В данном случае применяется формула сокращенного умножения: x⁴ + 6x⁴ + 9 = (x² + 3) (x² + 3).
Делим выражение (x² + 3) (x² + 3). на x²+3 и получаем x²+3.

Сложные примеры на деление многочленов

Бывают случаи, когда нельзя сразу применить формулы разложения на множители. Например, это может  после умножения каждого члена многочленов и приведения подобных слагаемых (в некоторых случаем подобные слагаемые могут дать нулевой результат).

В этом случае нужно привести делимое к такому виду, чтобы сформировать один из множителей, равный делителю.

Пример 7. Разделить многочлен 4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ на многочлен a² − 3ab − 9b²

Перегруппируем слагаемые и разложим многочлен на множители таким образом, чтобы одно из слагаемых было a² − 3ab − 9b²:
4a⁴ − 14a³b   − 24a²b² − 54b⁴ = 4a⁴ − 12a³b − 2a³b   −36a²b² +12a²b²  − 54b⁴ 
То есть: − 14a³b= −12a³b −2a³b,    − 24a²b²= − 36a²b² +12a²b² 
Получаем: =( 4a⁴ − 12a³b − 36a²b²) − 2a³b  +  12a²b² — 54b⁴= 4a²(a⁴-3ab − 9b²)− 2b(a³  —  6a²b + 27b³)

Рассмотрим выражение a³  — 6a²b + 27b³ 
Нам нужно данное выражение привести к такому виду, чтобы получить множитель a²−3ab−9b². 
Для этого:
— первое слагаемое представим как a³ = a*a²
— второе слагаемое представим как — 6a²b= — 3a²b -3a²b, где -3a²b = a*(-3ab)
— третье слагаемое получим как a*(-9b²), для этого прибавим и вычтем  9ab².
Получим:
 a³ − 3a²b − 3a²b  + 9ab² − 9ab² + 27b³ =  
a3 − 3a2b − 9ab2 − 3a2b+ 9ab2 + 27b³ =
a(a² − 3ab − 9b²) — 3b(a² — 3ab  + 9b²) = 
(a² − 3ab − 9b²) (a- 3b) 

Получаем:
4a²(a⁴-3ab − 9b²)− 2b(a³  —  6a²b + 27b³) =
4a²(a⁴-3ab − 9b²)− 2b(a² − 3ab − 9b²) (a- 3b) =
4a²(a⁴-3ab − 9b²)−(a² − 3ab − 9b²) (2ab- 6b²)

Сгруппируем множители:
(a⁴-3ab − 9b²) (4a²-(2ab- 6b²)) = 
(a⁴-3ab − 9b²) (4a²-2ab+ 6b²) 

Делим выражение (a⁴-3ab − 9b²) (4a²-2ab+ 6b²)  на a⁴-3ab − 9b² и получаем 4a²-2ab+ 6b²

Выполним проверку: ( 4a² − 2ab + 6b²)(a² − 3ab − 9b²)=  4a⁴ − 2a³b + 6a²b² 

Кстати, такой способ также можно использовать в том случае, если вы забыли формулы сокращенного умножения и разделения многочлена на множители.

Когда деление многочленов невозможно

Деление многочлена на многочлен невозможно в случае, если степень делимого окажется меньше степени делителя.

Например, нельзя разделить многочлен x³ + x на многочлен x⁴ + x², поскольку делимое является многочленом третьей степени, а делитель — многочленом четвёртой степени.

При этом делимое и делитель можно записать в качестве дроби и упростить выражение для дальнейших вычислений. Например, можно попробовать разделить многочлен x³ + x на многочлен x⁴ + x², и даже получить частное x⁻¹ (или 1/х),  которое при перемножении с делителем будет давать делимое.