Деление многочлена — это операция, в которой нужно разделить один многочлен на другой многочлен или на одночлен. Умение выполнять деление многочлена необходимо для упрощения выражений, решения уравнений и успешной сдачи экзаменов. В этой статье мы разберём все случаи деления многочлена — от самых простых до сложных, с подробными примерами и проверкой результата. Перед изучением данной темы рекомендуем повторить: многочлены, формулы сокращенного умножения и разложение многочлена на множители.
1. Деление многочлена на одночлен
Чтобы выполнить деление многочлена на одночлен, нужно разделить каждый член многочлена на одночлен, затем сложить полученные частные. Это правило работает, потому что деление многочлена на одночлен аналогично сложению дробей с одинаковым знаменателем.
Пример 1. Разделить многочлен 15x²y³ + 10xy² + 5xy³ на одночлен xy.
— Делим каждый член: 15x²y³ ÷ xy = 15xy², 10xy² ÷ xy = 10y, 5xy³ ÷ xy = 5y².
— Складываем частные: 15xy² + 10y + 5y².
— Проверка: (15xy² + 10y + 5y²) × xy = 15x²y³ + 10xy² + 5xy³ — верно.
2. Деление одночлена на многочлен
Важно запомнить: не существует тождественного преобразования, позволяющего разделить одночлен на многочлен. Деление многочлена возможно только когда делимое — многочлен, а делитель — одночлен, либо когда оба — многочлены и степень делимого не меньше степени делителя.
Пример 2. Разделить одночлен 2xy на многочлен 5x + 3y + 5.
Результатом этого деления должен быть такой многочлен, который при умножении на (5x + 3y + 5) даст 2xy. Но такого многочлена не существует. Однако в некоторых заданиях требуется найти значение выражения при заданных значениях переменных — тогда достаточно подставить числа и вычислить дробь.
3. Деление многочлена на многочлен
Это основной случай деления многочлена, который требует использования разложения на множители. Если первый многочлен умножить на второй, получается третий. Тогда деление — это обратная операция: по произведению и одному множителю найти второй.
Например: (x + 5)(x + 3) = x² + 8x + 15. Тогда деление многочлена x² + 8x + 15 на (x + 3) должно дать (x + 5).
3.1. Деление многочлена на многочлен с помощью группировки
Пример 3. Разделить x² + 8x + 15 на (x + 5).
— Разложим делимое на множители способом группировки: x² + 8x + 15 = x² + 3x + 5x + 15 = x(x + 3) + 5(x + 3) = (x + 3)(x + 5).
— Делим (x + 3)(x + 5) на (x + 5) → получаем (x + 3).
— Проверка: (x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15 — верно.
Пример 4. Разделить x² – 8x + 7 на (x – 7).
— Разложим: x² – 8x + 7 = x² – 7x – x + 7 = x(x – 7) – 1(x – 7) = (x – 7)(x – 1).
— Делим (x – 7)(x – 1) на (x – 7) → получаем (x – 1).
3.2. Деление многочлена на многочлен с помощью вынесения общего множителя
Пример 5. Разделить x⁶ + 2x⁴ + x⁷ + 2x⁵ на (x² + x³).
— Сгруппируем и вынесем общий множитель: x⁶ + x⁷ + 2x⁴ + 2x⁵ = x⁴(x² + x³) + 2x²(x² + x³) = (x⁴ + 2x²)(x² + x³).
— Делим (x⁴ + 2x²)(x² + x³) на (x² + x³) → получаем x⁴ + 2x².
— Проверка: (x⁴ + 2x²)(x² + x³) = x⁶ + x⁷ + 2x⁴ + 2x⁵ — верно.
3.3. Деление многочлена на многочлен с помощью формул сокращённого умножения
Пример 6. Разделить x⁴ + 6x² + 9 на (x² + 3).
— Применим формулу квадрата суммы: x⁴ + 6x² + 9 = (x² + 3)² = (x² + 3)(x² + 3).
— Делим (x² + 3)(x² + 3) на (x² + 3) → получаем x² + 3.
4. Сложные примеры деления многочлена на многочлен
Бывают случаи, когда нельзя сразу применить разложение на множители. В этом случае нужно привести делимое к такому виду, чтобы сформировать один из множителей, равный делителю. Такое деление многочлена требует внимательности и аккуратности.
Пример 7. Разделить 4a⁴ – 14a³b – 24a²b² – 54b⁴ на (a² – 3ab – 9b²).
Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить делитель:
4a⁴ – 14a³b – 24a²b² – 54b⁴ = (4a⁴ – 12a³b – 36a²b²) + (–2a³b + 12a²b² – 54b⁴) =
= 4a²(a² – 3ab – 9b²) – 2b(a³ – 6a²b + 27b³).
Теперь разложим (a³ – 6a²b + 27b³), представив его как (a² – 3ab – 9b²)(a – 3b):
(a³ – 6a²b + 27b³) = (a² – 3ab – 9b²)(a – 3b).
Тогда исходное выражение:
4a²(a² – 3ab – 9b²) – 2b(a² – 3ab – 9b²)(a – 3b) = (a² – 3ab – 9b²)(4a² – 2ab + 6b²).
Делим на (a² – 3ab – 9b²) → получаем 4a² – 2ab + 6b².
Проверка: (4a² – 2ab + 6b²)(a² – 3ab – 9b²) = 4a⁴ – 14a³b – 24a²b² – 54b⁴ — верно.
5. Когда деление многочлена невозможно
Деление многочлена на многочлен невозможно, если степень делимого меньше степени делителя. Например, нельзя разделить x³ + x на x⁴ + x², так как 3 < 4. Однако такие выражения можно записать в виде дроби и упростить для дальнейших вычислений.
Заключение
Мы разобрали все основные случаи деления многочлена: на одночлен, на многочлен с помощью разложения на множители, группировки и формул сокращённого умножения. Умение выполнять деление многочлена пригодится вам при решении уравнений, упрощении выражений и подготовке к экзаменам. Практикуйтесь на примерах из статьи — и вы быстро освоите эту важную тему.