Формулы сокращенного умножения — это фундамент алгебры. Они позволяют быстро возводить в квадрат и куб суммы и разности, раскладывать на множители сложные выражения и решать уравнения. В этой статье мы собрали все основные формулы сокращенного умножения в одну таблицу, дали их геометрическое объяснение и показали на конкретных примерах, как применять каждую из них. Знание этих формул сокращенного умножения сэкономит вам часы вычислений и поможет успешно сдать экзамены.
Формулы сокращенного умножения включают в себя:
- Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений,
- Куб суммы и куб разности выражений,
- Умножение разности двух выражений на их сумму,
- Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы,
- Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности.
1. Квадрат суммы двух выражений
Правило: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. Эта формула сокращенного умножения — одна из самых часто используемых.
(a + b)² = a² + 2ab + b² |
Пример: Преобразовать (2x + 3y)².
(2x + 3y)² = (2x)² + 2·2x·3y + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y².
Геометрический смысл квадрата суммы
Площадь квадрата со стороной (a + b) равна сумме площадей квадрата a², квадрата b² и двух прямоугольников ab.
2. Квадрат разности двух выражений
Правило: Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. Эту формулу сокращенного умножения часто путают с квадратом суммы, но знак перед удвоенным произведением здесь минус.
(a – b)² = a² – 2ab + b² |
Пример: Преобразовать (7x – 5)².
(7x – 5)² = (7x)² – 2·7x·5 + 5² = 49x² – 70x + 25.
Геометрический смысл квадрата разности
Площадь квадрата со стороной (a – b) можно получить, вычитая из a² площади двух прямоугольников и добавляя b².
3. Куб суммы и куб разности
Правило для куба суммы: Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго. Эти формулы сокращенного умножения пригодятся при решении уравнений высших степеней.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
Правило для куба разности: Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ |
Пример 1: (x + 1)³ = x³ + 3·x²·1 + 3·x·1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1.
Пример 2: (n² – 3)³ = (n²)³ – 3·(n²)²·3 + 3·n²·3² – 3³ = n⁶ – 9n⁴ + 27n² – 27.
4. Умножение разности двух выражений на их сумму
Правило: Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Это одна из самых популярных формул сокращенного умножения для разложения на множители.
(a – b)(a + b) = a² – b² |
Пример: (2x – 5)(2x + 5) = (2x)² – 5² = 4x² – 25.
5. Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы
Правило: Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений. Неполный квадрат суммы — это a² + ab + b² (в нём нет удвоения).
(a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³ |
Пример: (2x – 3y)(4x² + 6xy + 9y²) = (2x)³ – (3y)³ = 8x³ – 27y³.
6. Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности
Правило: Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений. Неполный квадрат разности — это a² – ab + b².
(a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³ |
Пример: (2x + 3y)(4x² – 6xy + 9y²) = (2x)³ + (3y)³ = 8x³ + 27y³.
Сводная таблица всех формул сокращенного умножения
Для быстрого повторения сохраните эту таблицу:
• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
• (a – b)(a + b) = a² – b²
• (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³
• (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³
Применение формул сокращенного умножения
Знание формул сокращенного умножения помогает не только упрощать выражения, но и уметь разложить многочлены на множители для последующих операций: сложения, вычитания, умножения или деления. Регулярно тренируйтесь в их применении — и алгебра станет для вас простой и понятной.