Многочлены: правила и примеры

В статье: одночлены и многочлены, действия с ними (правила сложения, вычитания, умножения), проверка на тождественность и примеры.

Многочлен — это сумма одночленов.
Например, являются многочленом следующие выражения:

2x + (4xy2 — x) + 2xy2, где 2x, 4xy2, x и 2xy2 — одночлены,
3x − 5y − 2x, где 3x, −5y и − 2x — одночлены.
Многочленом также является любое числовое выражение: 2+3, 5+3+2.

Чтобы не противоречить определению многочлена, вычитание можно заменять сложением:
3x − 5y − 2x = 3x + (−5y) + (−2x). Но это действие нагромождает многочлен скобками, поэтому вычитание на сложение не заменяют и каждый одночлен будет рассматриваться вместе со знаком, который перед ним располагается.

Если многочлен состоит из двух членов, то такой многочлен называют двучленом (x + y)
Если многочлен состоит из трёх членов, то такой многочлен называют трехчленом (x + y + z ).
Если какой-нибудь многочлен содержит обычное число, то это число называют свободным членом (в многочлене 3x + 5y + z + 7 — 7 является свободным членом).

Многочлены: правила сложения

К многочлену можно прибавить другой многочлен. Например, к (2x + y) прибавим (3x + y). Для этого:

Раскрываем скобки: 2x + y + 3x + y
Приводим подобные слагаемые: 2x + y + 3x + y = 5x + 2y
Получаем: многочлен 5x + 2y.

Если в одном из многочленов окажется слагаемое, которое не имеет подобного слагаемого в другом многочлене, оно переносится к результату без изменений.

Например, сложим (2×2 + y3 + z + 2) и (5×2 + 2y3).

Раскрываем скобки: 2×2 + y3 + z + 2 + 5×2 + 2y3 =
Приводим подобные слагаемые: (2×2 + 5×2) + (y3 + 2y3) + z + 2
Получаем: 7×2 + 3y3 + z + 2

Многочлены: правила вычитания

Из многочлена можно вычесть другой многочлен. Например, из (2x + y) вычтем 3x + y. Для этого:

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «минус», указывая тем самым, что мы выполняем вычитание: (2x + y) − (3x + y)
Раскроем скобки: 2x + y − 3x − y
Приведём подобные слагаемые. Слагаемые y и −y являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю y + (−y) = 0. Сложение подобных слагаемых 2x и −3x даст в результате −x
Получаем: одночлен −x.

Представление многочлена в виде суммы или разности

Многочлен можно представить в виде суммы или разности многочленов. По сути это обратное действие раскрытию скобок. Например: представим многочлен (3x + 5y + z + 7) в виде суммы двух многочленов. Для этого заключим в скобки нужные члены, например (3x + 5y) + (z + 7) или (3x + 5y + z) + 7.

Представляя многочлен в виде разности, нужно придерживаться следующего правила:
если члены заключаются в скобки после знака минуса, то этим членам внутри скобок нужно поменять знаки на противоположные. Пример для многочлена (3x + 5y + z + 7) получаем (3x + 5y) − (−z − 7)

Представляя многочлен в виде суммы или разности, можно соблюдать следующие правила:

Если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены внутри скобок записываются со своими же знаками.
Если перед скобками ставится знак «минус», то все члены внутри скобок записываются с противоположными знаками.

Многочлен и его стандартный вид

Многочлен, как и одночлен, можно привести к стандартному виду. В результате получается упрощенный многочлен, с которым удобно работать.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести подобные слагаемые в этом многочлене.

Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена. Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть.
Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением его подобных членов.

Пример: приведём многочлен 2x + 4xy2 + x − xy2 к стандартному виду. Для этого

Приведём подобные слагаемые: 2x и x, а также 4xy2 и −xy2.
Получим многочлен 3x + 3xy2, который не имеет подобных членов

Степень многочлена

У многочлена имеется степень. Чтобы определить степень многочлена, сначала его нужно привести к стандартному виду, затем выбрать тот одночлен, степень которого является наибольшей из всех.

Пример для многочлена 3x + 3xy2 :
— степенью первого одночлена является 1,
— степенью второго одночлена является 3.
— Наибольшая из этих степеней является 3. Значит, многочлен 3x + 3xy2 является многочленом третьей степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

Многочлены: правила умножения многочлена на одночлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Пример: умножим одночлен 3×2 на многочлен 2x + y + 5.

Составим пример: 3×2(2x + y + 5)
Умножим одночлен 3×2 на каждый член многочлена 2x + y + 5: 3×2×2x + 3×2×y + 3×2×5
Вычислим получившиеся произведения: 6×3 + 3x2y + 15×2

Умножение одночлена на многочлен (или умножение многочлена на одночлен) основано на распределительном законе умножения: a(b + c) = ab + ac

Иногда встречаются выражения, в которых сначала нужно выполнить умножение одночлена на многочлен, затем опять на одночлен. Например: 2(a + b)c. Для этого:

2 умножается на многочлен (a + b) и заключим полученный результат в скобки 2(a + b)c = (2a + 2b)с
умножаем многочлен (2a + 2b) на одночлен c и получаем результат: (2a + 2b)с = 2ac + 2bc

Умножение также можно было бы выполнить сначала умножив (a + b) на с и полученный результат перемножить с членом 2: 2(a + b)c = 2(ac + bc) = 2ac + 2bc

В данном случае срабатывает сочетательный закон умножения: a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

Многочлены: правила умножения многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Пример: умножим многочлен (x + 3) на (y + 4). Для этого:

Заключим в скобки каждый многочлен и объединим их знаком умножения: (x + 3) × (y + 4)
Умножим каждый член первого многочлена (x + 3) на каждый член второго многочлена (y + 4). Здесь будет применяться распределительный закон умножения: (a + b)c= ac + bc.
Получим: (x + 3)(y + 4) = xy + 3y + 4x + 12

Выполнить умножение многочлена на многочлен другим способом: каждый член первого многочлена умножить на второй многочлен целиком и полученные произведения сложить.
Получаем: (x + 3)(y + 4) = x(y + 4) + 3(y + 4)
Получится тот же результат что и раньше, но члены полученного многочлена будут располагаться немного по другому.

Пример 2. Умножить многочлен (a + b) на (c + d)
Заключим исходные многочлены в скобки и запишем их друг за другом: (a + b)(c + d)
Умножим каждый член первого многочлена (a + b) на каждый член второго многочлена (c + d)
Получим: (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

Пример 3. Выполнить умножение (−x − 2y)(x + 2y2)
Умножим каждый член многочлена (−x − 2y) на каждый член многочлена (x + 2y2)
1) Умножим многочлен (−x − 2y) на первый член многочлена (x + 2y2), то есть на x: получаем −x2 − 2xy
2) Умножим многочлен (−x − 2y) на второй член многочлена (x + 2y2), то есть на 2y2: получаем −2xy2 −4y3.
Получим: (−x − 2y)(x + 2y2) = −x2 − 2xy − 2xy2 − 4y3

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим простой двучлен 6xy + 3xz.
Вынесем в нём общий множитель за скобки. В данном случае за скобки можно вынести общий множитель 3x. В результате получили 3x(2y + z). При этом в скобках образовался другой более простой многочлен (2y + z).

Выносимый за скобки общий множитель выбирают так, чтобы в скобках остались члены, которые не содержат общего буквенного множителя, а модули коэффициентов этих членов не имели общего делителя, кроме единицы.

Буквенную часть общего множителя выбирают так, чтобы члены в скобках не имели общих буквенных множителей. В данном случае общий буквенный множитель — это x.
Общий делитель можно найти, если вычислить наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов исходных членов. В нашем случае исходный многочлен был 6xy + 3xz. Коэффициенты исходных членов это числа 6 и 3, а их НОД равен 3.

Пример 1. Вынести общий множитель за скобки в многочлене x2 + x + xy

Все члены данного многочлена имеют коэффициент единицу, поэтому НОД=1.
Для выделения буквенной части каждый одночлен можно представить в виде произведения. К примеру, если многочлен содержит одночлен x3, его можно представить в виде произведения xxx.
— первый член можно представить в виде произведения x × x,
— второй член x можно представить в виде 1 × x,
— третий член xy оставим без изменения.
Вынесем общий множитель x за скобки, получается x(x + 1 + y)

В результате в скобках остаются члены, которые не имеют общих буквенных сомножителей, а модули коэффициентов этих членов не имеют общих делителей, кроме 1.

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 15x2y3 + 12xy2 + 3xy2

Определим коэффициент общего множителя. Наибольший общий делитель коэффициентов 15, 12 и 3 — это число 3. Значит, число 3 будет коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки.
Теперь определим буквенную часть общего множителя. Её нужно выбирать так, чтобы в скобках остались члены, которые не содержат общего буквенного множителя. Видим, что среди буквенных частей общим множителем является xyy, то есть xy2. Если вынести этот множитель за скобки, в скобках останется многочлен, не имеющий общего буквенного множителя.
В итоге общим множителем, выносимым за скобки, будет множитель 3xy2
Получим: 3xy2(5xy + 4 + 1).

Проверка на тождественность

Решение задачи с многочленами порой растягивается на несколько строк. При этом все многочлены должны быть тождественны — правила преобразования многочленов.

Если возникают сомнения в правильности своих действий, то можно подставить произвольные значения переменных в исходное и полученное выражение. Если исходное и полученное выражение будут равны одному и тому же значению, то можно быть уверенным, что задача была решена правильно.

Допустим, нам нужно вынести общий множитель за скобки в следующем многочлене: 2x + 4×2.
В данном случае за скобки можно вынести общий множитель 2x: 2x + 4×2 = 2x(1 + 2x)

Представим, что мы не уверены в таком решении. В этом случае нужно взять любое значение переменной x и подставить его сначала в исходное выражение 2x + 4×2, затем в полученное 2x(1 + 2x). Если в обоих случаях результат будет одинаковым, то это будет означать, что задача решена правильно.

Пусть x = 2. Тогда получим:
1) 2x + 4×2 = 2 × 2 + 4 × 22 = 4 + 16 = 20
2) 2x(1 + 2x) = 2 × 2 × (1 + 2 × 2) = 4 × 5 = 20
Это значит, что задача была решена правильно. Тоже самое будет происходить и при других значениях переменных x.

Для быстрых преобразований многочленов используйте формулы сокращенного умножения.