В этой статье мы разберём, что такое одночлены и многочлены, а также рассмотрим правила выполнения основных действий с ними: сложения, вычитания, умножения, приведения к стандартному виду, вынесения общего множителя и проверки на тождественность. Знание этих правил поможет вам уверенно решать задачи по алгебре, упрощать выражения и готовиться к экзаменам. Все правила работы с многочленами даны с наглядными примерами, чтобы вы могли легко их освоить.
Что такое многочлен: определение и примеры
Многочлен — это сумма одночленов. Например, являются многочленом следующие выражения:
- 2x + (4xy² – x) + 2xy², где 2x, 4xy², x и 2xy² — одночлены;
- 3x – 5y – 2x, где 3x, –5y и –2x — одночлены;
- Многочленом также является любое числовое выражение: 2+3, 5+3+2.
Чтобы не противоречить определению многочлена, вычитание можно заменять сложением: 3x – 5y – 2x = 3x + (–5y) + (–2x). Но это действие нагромождает многочлен скобками, поэтому вычитание на сложение не заменяют, и каждый одночлен рассматривается вместе со знаком, который перед ним располагается.
- Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом (например, x + y).
- Если многочлен состоит из трёх членов, его называют трёхчленом (x + y + z).
- Если многочлен содержит обычное число, это число называют свободным членом (в многочлене 3x + 5y + z + 7 свободным членом является 7).
Правила сложения многочленов
Правило: Чтобы сложить два многочлена, нужно раскрыть скобки (сохраняя знаки) и привести подобные слагаемые.
Пример 1: Сложим (2x + y) и (3x + y).
1) Раскрываем скобки: 2x + y + 3x + y
2) Приводим подобные слагаемые: 2x + 3x = 5x, y + y = 2y
3) Получаем: 5x + 2y.
Если в одном из многочленов окажется слагаемое, которое не имеет подобного в другом многочлене, оно переносится к результату без изменений.
Пример 2: Сложим (2x² + y³ + z + 2) и (5x² + 2y³).
1) Раскрываем скобки: 2x² + y³ + z + 2 + 5x² + 2y³
2) Приводим подобные: (2x² + 5x²) + (y³ + 2y³) + z + 2
3) Получаем: 7x² + 3y³ + z + 2.
Правила вычитания многочленов
Правило: Чтобы вычесть один многочлен из другого, нужно заключить каждый в скобки, поставить знак «минус», затем раскрыть скобки, меняя знаки вычитаемого многочлена на противоположные, и привести подобные.
Пример: Из (2x + y) вычтем (3x + y).
1) Записываем: (2x + y) − (3x + y)
2) Раскрываем скобки: 2x + y − 3x − y
3) Приводим подобные: 2x − 3x = −x, y − y = 0
4) Получаем одночлен: −x.
Представление многочлена в виде суммы или разности
Многочлен можно представить в виде суммы или разности других многочленов — это обратное действие раскрытию скобок.
Важные правила:
- Если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены внутри скобок записываются со своими же знаками.
- Если перед скобками ставится знак «минус», то все члены внутри скобок записываются с противоположными знаками.
Пример (сумма): Представим многочлен (3x + 5y + z + 7) в виде суммы двух многочленов: (3x + 5y) + (z + 7).
Пример (разность): Представим тот же многочлен в виде разности: (3x + 5y) − (−z − 7).
Многочлен и его стандартный вид
Многочлен, как и одночлен, можно привести к стандартному виду. Правило: чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести подобные слагаемые (подобные члены) в этом многочлене.
- Подобные члены — это слагаемые с одинаковой буквенной частью.
- Приведение подобных членов — это их сложение (или вычитание) с учётом коэффициентов.
Пример: Приведём многочлен 2x + 4xy² + x − xy² к стандартному виду.
1) Подобные слагаемые: 2x и x; 4xy² и −xy².
2) Получаем: (2x + x) + (4xy² − xy²) = 3x + 3xy².
Степень многочлена
Правило: Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Чтобы определить степень многочлена, сначала нужно привести его к стандартному виду, затем выбрать одночлен с наибольшей степенью.
Пример: Для многочлена 3x + 3xy²:
— степень первого одночлена (3x) равна 1,
— степень второго одночлена (3xy²) равна 3,
— наибольшая степень — 3. Значит, это многочлен третьей степени.
Правила умножения многочлена на одночлен
Правило: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Это основано на распределительном законе умножения: a(b + c) = ab + ac.
Пример: Умножим одночлен 3x² на многочлен 2x + y + 5.
1) Записываем: 3x²(2x + y + 5)
2) Умножаем одночлен на каждый член: 3x²×2x + 3x²×y + 3x²×5
3) Вычисляем: 6x³ + 3x²y + 15x².
Пример с двумя действиями: 2(a + b)c.
Способ 1: 2(a + b)c = (2a + 2b)c = 2ac + 2bc.
Способ 2: 2(a + b)c = 2(ac + bc) = 2ac + 2bc.
Правила умножения многочлена на многочлен
Правило: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.
Пример 1: Умножим (x + 3) на (y + 4).
(x + 3)(y + 4) = x·y + 3·y + x·4 + 3·4 = xy + 3y + 4x + 12.
Пример 2: (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.
Пример 3: (−x − 2y)(x + 2y²)
= (−x)·x + (−2y)·x + (−x)·2y² + (−2y)·2y² = −x² − 2xy − 2xy² − 4y³.
Вынесение общего множителя за скобки
Правило: Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно найти НОД коэффициентов и наименьшую степень общих буквенных множителей. За скобки выносится произведение числа (НОД) и буквенной части. В скобках остаются члены, не имеющие общего буквенного множителя.
Пример 1: 6xy + 3xz. НОД(6,3)=3, общий буквенный множитель — x. Выносим 3x: 3x(2y + z).
Пример 2: x² + x + xy. Общий множитель — x. Выносим: x(x + 1 + y).
Пример 3: 15x²y³ + 12xy² + 3xy². НОД(15,12,3)=3, общий буквенный множитель — xy². Выносим: 3xy²(5xy + 4 + 1).
Проверка на тождественность
Правило: Чтобы проверить правильность преобразования многочленов, можно подставить произвольные значения переменных в исходное и полученное выражение. Если результаты совпадают — преобразование выполнено верно.
Пример: 2x + 4x² = 2x(1 + 2x). Пусть x = 2.
Исходное: 2×2 + 4×4 = 4 + 16 = 20.
Полученное: 2×2×(1 + 4) = 4×5 = 20. Результаты совпадают, значит, решение верно.
Быстрые преобразования: формулы сокращённого умножения
Для быстрых преобразований многочленов используйте формулы сокращённого умножения. Они значительно упрощают работу с многочленами и помогают избежать ошибок.
Заключение
Мы разобрали основные правила действий с многочленами: сложение, вычитание, умножение на одночлен и на многочлен, приведение к стандартному виду, определение степени, вынесение общего множителя и проверку на тождественность. Эти правила — фундамент алгебры, без которого невозможно освоение более сложных тем. Практикуйтесь на примерах, и вы быстро научитесь применять все правила работы с многочленами автоматически.