Одночлены — это любое число, переменная, любая степень, а также произведение чисел, переменных и степеней. Примеры одночленов: 9, 5², x, 5a, 3ab², –6²·a·a²·b³. Чтобы уверенно выполнять действия с одночленами, нужно знать основные правила: приведение к стандартному виду, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и разложение на множители. В этой статье мы подробно разберём все действия с одночленами с примерами и объяснениями.
1. Приведение одночлена к стандартному виду
Приведение одночлена к стандартному виду заключается в умножении однотипных множителей: числа перемножаются с числами, переменные с переменными, степени со степенями (только если у них одинаковые основания). Результат — упрощённый одночлен. Прежде чем выполнять другие действия с одночленами, всегда нужно приводить их к стандартному виду.
Пример: 3a²·5a³·b² = (3×5) × (a²×a³) × b² = 15a⁵b².
Для дальнейших действий с одночленами полезно повторить тему «Степень с натуральным показателем».
где a — основание степени, n — показатель степени.
2. Коэффициент и степень одночлена
При выполнении действий с одночленами важно различать коэффициент и степень одночлена.
Коэффициент одночлена — это числовой множитель. В одночлене 15a⁵b² коэффициент равен 15. Если коэффициент не записан, он равен 1 (например, в одночлене ab). Если перед одночленом стоит минус, коэффициент равен –1.
Степень одночлена — это сумма показателей всех переменных. Для 15a⁵b² степень равна 5+2=7. Для числа (без переменных) степень равна нулю.
Важно не путать: степень числа — это произведение одинаковых множителей, а степень одночлена — сумма показателей переменных.
3. Сложение и вычитание одночленов
Правило: Чтобы сложить или вычесть одночлены, нужно сложить или вычесть их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений. Эти действия с одночленами возможны только если у них одинаковые буквенные части (подобные одночлены).
Пример 1 (сложение): 6a²b + 2a²b = (6+2)a²b = 8a²b.
Пример 2 (вычитание): 5a²b³ – 2a²b³ = (5–2)a²b³ = 3a²b³.
4. Умножение одночленов
Правило: Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их коэффициенты и буквенные части (применяя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями). Это одни из самых важных действий с одночленами.
Пример 3: 5x × 8y = (5×8) × (x×y) = 40xy.
Пример 4: 5x²y³ × 7x³y²c = (5×7) × (x²×x³) × (y³×y²) × c = 35x⁵y⁵c.
Пример 5: –5a²bc × 2a²b⁴ = (–5×2) × (a²×a²) × (b×b⁴) × c = –10a⁴b⁵c.
5. Деление одночленов
Правило: Чтобы разделить один одночлен на другой, нужно разделить коэффициенты и буквенные части, используя правило деления степеней. При выполнении этих действий с одночленами важно следить за показателями степеней.
Пример 6: 8a²b² ÷ 4ab = (8÷4) × (a²÷a) × (b²÷b) = 2ab.
Важные ограничения при делении:
- Если в делителе есть переменная, которой нет в делимом — деление невозможно. Например, 6xy² нельзя разделить на 3xyz, так как в делителе есть z.
- Если показатель степени в делимом меньше показателя в делителе — деление невозможно. Например, 2x нельзя разделить на x².
Однако в некоторых случаях можно выполнить сокращение дроби, чтобы упростить выражение. Например, дробь (6xy²)/(3xyz) можно сократить на 3xy, получив (2y)/z.
Особый случай: Если в делимом есть переменная, которой нет в делителе, она переходит в частное без изменений. Например, 4x²y²z ÷ 2xy = 2xyz.
6. Возведение одночлена в степень
Правило: При возведении одночлена в степень каждый множитель возводится в эту степень, затем результаты перемножаются. Эти действия с одночленами часто встречаются при упрощении выражений.
Формула: (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ.
Пример 7: (xy)² = x²y².
Пример 8: (–a²bc³)⁵ = (–1)⁵ × (a²)⁵ × b⁵ × (c³)⁵ = –a¹⁰b⁵c¹⁵.
Пример 9: Представить 121a⁶ в виде квадрата одночлена: 121a⁶ = (11a³)².
7. Разложение одночлена на множители
Поскольку одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней, его можно разложить на отдельные множители. Эти действия с одночленами полезны при сокращении дробей и решении уравнений.
Пример 10: 3a³b² = 3 × a × a × a × b × b = 3 × a³ × b².
Таблица основных действий с одночленами
Для быстрого повторения всех действий с одночленами сохраните эту шпаргалку:
• Приведение к стандартному виду: перемножить числа и одинаковые переменные.
• Сложение/вычитание: только для подобных одночленов, коэффициенты складываются.
• Умножение: перемножить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
• Деление: разделить коэффициенты и вычесть показатели степеней (если возможно).
• Возведение в степень: каждый множитель возводится в степень.
• Степень одночлена: сумма показателей переменных.
Заключение
Мы разобрали все основные действия с одночленами: приведение к стандартному виду, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и разложение на множители. Умение выполнять эти действия с одночленами — фундамент для работы с многочленами и более сложными алгебраическими выражениями. Практикуйтесь на примерах из статьи — и вы быстро освоите эту тему.