Одночлены: определение и действия с ними

Одночлены — это любое число, переменная, любая степень, а также произведение чисел, переменных и степеней, с которыми можно совершать разные математические действия. Примеры одночленов: 9, 52, x, 5a; 3ab2 ;  −62aa2b3

Приведение одночлена к стандартному виду

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в умножении однотипных множителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему. Важно: в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Рассмотрим следующий одночлен:  3a25a3b2
 — числа 3 и 5 перемножим и получим число 15,
— степени a2 и a3 имеют одинаковое основание a,  поэтому мы можем записать результат a5,
— степень b2 остаётся без изменений.
Получили результат: 3a25a3b2 = 15a5b2

Для того, чтобы далее рассматривать одночлены и действия с ними, вспомним тему «Степень с натуральным показателем«

где: a — основание степени; n — показатель степени.

Коэффициент одночлена

  • Числовой сомножитель (в примере 15) называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.
  • Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице.
    Например, для одночлена ab коэффициентом является 1, поскольку ab это произведение единицы и ab: abc = 1×ab.
  • Если перед одночленом стоит знак минуса, то коэффициент равен минус единице. Например, для одночлена —ab коэффициентом является -1, поскольку ab это произведение -1 и ab.

Степень одночлена

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных входящих в этот одночлен.  Показатель числового множителя при этом не считается.
Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю.  

Примеры:

  • Степенью одночлена 15a5b2 является 7: переменная a имеет степень 5, а переменная b — 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.
  • Степенью одночлена 7ab2 является 3:  переменная a имеет показатель 1, а переменная b — 2. 
  • Степень одночлена 11 равна нулю, так как это число.

Не следует путать степень одночлена и степень числа:

  • Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей.
  • Степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Сложение и вычитание одночленов

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Чтобы складывать и вычитать одночлены, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути представляет собой приведение подобных слагаемых.

Пример 1. Сложить одночлены 6a2b и 2a2b:
сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a2b оставим без изменений.
Получим: 6a2b + 2a2b = 8a2b

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a2b3 одночлен 2a2b3
Решение: 5a2b3 − 2a2b3 = 5a2b3 −2a2b3 = 3a2b3

Умножение одночленов

Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 3. Перемножить одночлены 5x и 8y
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности: 5x × 8y = (5 × 8) × (x × y) = 40xy

Пример 4. Перемножить одночлены 5x2y3 и 7x3y2c
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
5x2y3 × 7x3y2c = (5 × 7) × (x2x3) × (y3y2) × c = 35x5y5c

Пример 5. Перемножить одночлены −5a2bc и 2a2b4
−5a2bc × 2a2b4 = (−5 × 2) × (a2a2) × (bb4) × c = −10a4b5c

Деление одночленов

Для того, чтобы разделит один многочлен на другой, нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Пример 6. Разделить одночлен 8a2b2 на одночлен 4ab. 
Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2.
Теперь делим буквенную часть:
— в делимом содержится a2, в делителе — просто a. Делим a2 на a, получаем a, поскольку a2 : a = a2 − 1 = a
— в делимом содержится b2, в делителе — просто b. Делим b2 на b, получаем b, поскольку bb2 − 1 = b. Значит, при делении одночлена 8a2b2 на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.

Если переменная есть только в одном многочлене:

Если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то  деление невозможно.

Например, одночлен 6xy2 нельзя разделить на одночлен 3xyz, так как в делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy2.

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

*сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число.
Так, в примере нельзя разделить одночлен 6xy2 на одночлен 3xyzНо можно сократить эту дробь на одночлен 3xy.

Если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Например, при делении одночлена 4x2y2z на 2xy, получается 2xyz

Если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя, то деление одночлена на одночлен также невозможно.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x2 нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x2, входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x2 даст в результате делимое 2x.

Возведение одночлена в степень

При возведении степень одночлена каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются: (a × b)n = a× b

Пример 7. Возвести одночлен xy во вторую степень.
Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый множитель этого одночлена: (xy)2 = x2y2

Пример 8. Возвести одночлен −a2bc3 в пятую степень.
В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень: 
(−a2bc3)5 = (−1)5 × (a2)5 × b5 × (c3)5 = −1a10b5c15 = −a10b5c15
Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные множители одночлена.

Пример 9. Представить одночлен 121a6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.
— число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат — это первый множитель.
— степень a6 получается, если возвести в квадрат степень a3 — это второй множитель.
Таким образом, если произведение 11a3 возвести во вторую степень, то получится  121a6
(11a3)2 = 112 × (a3)2 = 121a6

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 10. Разложить одночлен 3a3b2 на множители
Данный одночлен можно разложить на множители:
3a3b= 3×a×a×a× b×b =  3×a×a×a×b2 = 3×a3×b×b

 

Оцените статью
( Пока нет оценок )
ПОЛЕЗНЫЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ УЧЕБЫ И РАБОТЫ
Добавить комментарий

Этот сайт защищен reCAPTCHA и применяются Политика конфиденциальности и Условия обслуживания применять.

Срок проверки reCAPTCHA истек. Перезагрузите страницу.