Математические дроби — одна из базовых тем школьной математики, которая часто вызывает сложности у детей и даже у взрослых. На самом деле дроби окружают нас в повседневной жизни: когда мы делим пиццу, пирог, шоколадку или измеряем половину, треть или четверть чего-то. Понимание дробей помогает легче осваивать дальнейшие темы по математике, алгебре и даже физике.
В этой статье математические дроби объясняются простым и понятным языком, с примерами из жизни. Вы узнаете, какие бывают виды дробей, что такое числитель и знаменатель, а также разберёте все основные операции с дробями: сокращение, приведение к общему знаменателю, сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление.
В статье описаны математические дроби: основные виды дробей, их основное свойство, а также все операции, которые можно выполнять с дробями (сокращение, приведение, сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление).
Дробь и ее виды
Математическая дробь показывает, что целое число разделено на равные части. Дроби широко используются в школьной программе и помогают научиться работать с частями целого.
Обыкновенная или простая дробь — это число вида a/b, где:
• a — числитель (сколько частей взяли),
• b — знаменатель (на сколько частей разделили целое).
Суть дроби легко понять на примере пирога. Если пирог разделили на 4 равные части и взяли одну, то получаем дробь 1/4 — одна часть из четырёх.
Правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя (например, 1/5, 2/9). Такая дробь всегда меньше единицы.
Неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, 7/2, 5/5). Она может быть больше или равна 1.
Смешанная дробь — это дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби. Любую неправильную дробь можно представить в виде смешанной: например, 9/4 = 2 1/4.
Десятичная дробь — дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. Она записывается с помощью запятой: 0,7; 0,09; 1,25.
Математические дроби: основное свойство
Основное свойство дроби — одно из самых важных в теме «математические дроби». Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), значение дроби не изменится.
Например: 2/3 = 4/6 = 6/9.
Сокращение дроби
Сокращение дробей позволяет упростить запись и облегчить вычисления. Для этого числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель.
Чтобы сократить математические дроби, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на НОД. Найти НОД можно с помощью онлайн калькулятора НОД.
НОД — это наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Например: 4/20 = 1/5.
Сократить обыкновенную дробь можно с помощью калькулятора сокращения дробей.
Приведение дробей к общему знаменателю
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОК) – минимальное число, которое делится на каждый знаменатель. Найти НОК можно с помощью онлайн калькулятора НОК.
Например, для дробей 1/4 и 1/3 общий знаменатель общий знаменатель равен 12, для дробей 1/6 и 1/3 общий знаменатель будет 6).
Для приведения дроби к общему знаменателю нужно:
1. Найти общий знаменатель – НОК (для дробей 1/6 и 1/9 общий знаменатель будет равен 18);
2. Найти множитель для каждой дроби – разделить общий знаменатель на знаменатель исходной дроби (для дроби 1/6 множитель будет равен 3 (18:6=3), для дроби 1/9 – 2 (18:9=2)).
3. Умножить числитель дроби на множитель (для дроби 1/6 получаем 1*3/6*3=3/18, для дроби 1/9 получаем 2*1/2*9=2/18)
Преобразование неправильной дроби в смешанную дробь и обратно
Любую неправильную дробь можно перевести в смешанную (рассмотрим на примере 14/3).
Для перевода необходимо выполнить деление числителя на знаменатель с остатком (14 разделить на 3 равно 4 и остаток 2): получавшаяся целая часть от деления (число 4) – целая часть дроби, остаток от деления (число 2) – числитель правильной дроби. Получаем число 4 2/3.
На примере пирога: каждый пирог разрезан на 3 части и всего есть 14 кусочков. Получаем, что 12 кусочков составляют 4 целых пирога и еще остается два кусочка).
Для перевода смешанной дроби в неправильную необходимо (рассмотрим на примере 4 2/3):
для получения числителя целую часть дроби умножить на знаменатель и прибавить исходный числитель (4 умножить на 3 и прибавить 2, получим 14); знаменатель оставить прежним (число 3).
На примере пирога: есть 4 целых пирога, разрезанных на 3 части, и еще 2 кусочка из трех; получаем 12 кусочков из пирогов, разрезанных на три части, и 2 кусочка из пирога, разрезанного на три части. Итого, получаем 14 кусочков пирогов, каждый из которых разрезан на три части.
Математические дроби: сравнение
Если сравнивать две математические дроби с одинаковыми знаменателями, то больше та дробь, числитель которой больше (например, 5/6 > 1/6, то есть пять частей из шести будет больше, чем одна часть из шести).
Если сравнивать две математические дроби с одинаковыми числителями, то больше та дробь, знаменатель которой меньше (например, 1/2 > 1/3, то есть 1/2 часть пирога будет больше, чем 1/3).
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей (например, для сравнения 3/4 и 5/6 нужно привести дроби к общему знаменателю; получаем 9/12 < 10/12)
Сложение дробей
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Например, 1/9 + 4/9 = 5/9.
Чтобы сложить две простые дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК) и сложить числители полученных дробей (знаменатель будет равен НОК). Если получилась неправильная дробь, то ее нужно преобразовать в смешанную и при необходимости сократить. Например, 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12 = 5/6.
Чтобы сложить две смешанные дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК), отдельно сложить целые части и числители полученных дробей (знаменатель будет равен НОК). Если получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть и прибавить ее к полученной целой части, при необходимости сократить.
Для того, чтобы сложить дроби, используйте калькулятор обыкновенных дробей.
Вычитание дробей
Чтобы найти разницу двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений. Например, 7/9 – 2/9 = 5/9.
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК); из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений; сократить полученную дробь. Например, 2/3 – 1/2 = 4/6 – 3/6 = 1/6.
Чтобы выполнить вычитание смешанных дробей, нужно:
привести дробные части к наименьшему общему знаменателю;
если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;
отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей;
сократить полученную дробь.
Например, 5 1/9 – 1/4 = 5 4/36 – 9/36 = 4 40/36 – 9/36 = 4 31/36.
Для того, чтобы вычесть дроби, используйте калькулятор обыкновенных дробей.
Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить без изменений. Например, 2/5 * 3 = (2*3)/5 = 6/5 = 1 1/5
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, надо перемножить числители и знаменатели дробей. Например, 2/3 * 4/5 = (2*4)/(3*5) = 8/15.
Чтобы умножить две смешанные дроби, надо: преобразовать смешанные дроби в неправильные; перемножить числители и знаменатели дробей. Если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную. Например, 1 2/3 * 2 1/5 = 5/3 * 11/5 = 55/15 = 11/3 = 3 2/3.
Для того, чтобы умножить дроби, используйте калькулятор обыкновенных дробей.
Деление дробей
Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель дроби умножить на число, а числитель оставить без изменений. Например, 2/3 : 5 = 2/15.
Чтобы разделить натуральное число на дробь, следует число умножить на дробь обратную заданной. Например, 5 : 2/5 = 5 * 5/2 = 25/2 = 12 ½.
Чтобы разделить две дроби, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй. Например, 2/3 : 4/5 = 2/3 * 5/4 = (2*5)/(3*4) = 10/12 = 5/6.
Чтобы разделить смешанные дроби, надо: преобразовать смешанные дроби в неправильные; умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
Для того, чтобы разделить дроби, используйте калькулятор обыкновенных дробей.
Смотрите также:
- Перевести обыкновенные дроби в десятичные и обратно: калькулятор онлайн.
- Перевести обыкновенные дроби в проценты и обратно: калькулятор онлайн.