Опубликовано Оставить комментарий

Математические дроби – просто о сложном

В статье описаны основные виды дробей, их основное свойство, а также все операции, которые можно выполнять с дробями: сокращение, приведение, сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление.

Дробь и ее виды

Обыкновенная или простая дробь — это число вида a/b , где a — числитель дроби, b — знаменатель дроби. Суть дроби можно объяснить на примере пирога – например, дробь ¼ означает один кусок пирога из 4-ех.

 Правильная — дробь, у которой числитель меньше знаменателя (например, 1/5, 2/9).

 Неправильная — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, 7/2, 5/5).

 Смешанная — дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби. Она представляет собой сумму этого числа и дроби. Любую неправильную дробь можно перевести в смешанную путем выделения целой части (например, 9/4 = 2 ¼).

 Десятичная — дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. (например, 7/10 или 0,7; 9/100 или 0,09). Десятичная дробь записывается в виде целой и дробной части, которые отделяются запятой.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одинаковое число (не ноль), то получится равная дробь. Например, 2/3 = 2*2 / 3*2 = 4/6

 

Сокращение дроби

Сокращение осуществляется с помощью основного свойства дроби (чтобы упростить ее вид).

Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на НОД.

НОД – это наибольший общий делитель (то есть максимальное число, на которое делится и числитель, и знаменатель). Например, для дроби 4/20 наименьшим общим делителем будет 4 (4/20 = 1/5).

 

Приведение дробей к общему знаменателю.

Любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОК) – минимальное число, которое делится на каждый знаменатель.

Например, для дробей 1/4 и 1/3 общий знаменатель общий знаменатель равен 12, для дробей 1/6 и 1/3 общий знаменатель будет 6).

Для приведения дроби к общему знаменателю нужно:
1. Найти общий знаменатель – НОК (для дробей 1/6 и 1/9 общий знаменатель будет равен 18);
2. Найти множитель для каждой дроби – разделить общий знаменатель на знаменатель исходной дроби (для дроби 1/6 множитель будет равен 3 (18:6=3), для дроби 1/9 – 2 (18:9=2)).
3. Умножить числитель дроби на множитель (для дроби 1/6 получаем 1*3/6*3=3/18, для дроби 1/9 получаем 2*1/2*9=2/18)

 

Преобразование неправильной дроби в смешанную дробь и обратно

Любую неправильную дробь можно перевести в смешанную (рассмотрим на примере 14/3).
Для перевода необходимо выполнить деление числителя на знаменатель с остатком (14 разделить на 3 равно 4 и остаток 2): получавшаяся целая часть от деления (число 4) – целая часть дроби, остаток от деления (число 2) – числитель правильной дроби. Получаем число 4 2/3.
На примере пирога: каждый пирог разрезан на 3 части и всего есть 14 кусочков. Получаем, что 12 кусочков составляют 4 целых пирога и еще остается два кусочка).

Для перевода смешанной дроби в неправильную необходимо (рассмотрим на примере 4 2/3):
для получения числителя целую часть дроби умножить на знаменатель и прибавить исходный числитель (4 умножить на 3 и прибавить 2, получим 14); знаменатель оставить прежним (число 3).
На примере пирога: есть 4 целых пирога, разрезанных на 3 части, и еще 2 кусочка из трех; получаем 12 кусочков из пирогов, разрезанных на три части, и 2 кусочка из пирога, разрезанного на три части. Итого, получаем 14 кусочков пирогов, каждый из которых разрезан на три части.

 

Сравнение дробей

 Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше (например, 5/6 > 1/6, то есть пять частей из шести будет больше, чем одна часть из шести).

 Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше (например, 1/2 > 1/3, то есть 1/2 часть пирога будет больше, чем 1/3).

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей (например, для сравнения 3/4 и 5/6 нужно привести дроби к общему знаменателю; получаем 9/12 < 10/12)

 

Сложение дробей

 Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Например, 1/9 + 4/9 = 5/9.

 Чтобы сложить две простые дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК) и сложить числители полученных дробей (знаменатель будет равен НОК). Если получилась неправильная дробь, то ее нужно преобразовать в смешанную и при необходимости сократить. Например, 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12 = 5/6.

Чтобы сложить две смешанные дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК), отдельно сложить целые части и числители полученных дробей (знаменатель будет равен НОК). Если получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть и прибавить ее к полученной целой части, при необходимости сократить.

 

Вычитание дробей

Чтобы найти разницу двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений. Например, 7/9 – 2/9 = 5/9.

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК); из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений; сократить полученную дробь. Например, 2/3 – 1/2 = 4/6 – 3/6 = 1/6.

Чтобы выполнить вычитание смешанных дробей, нужно:             
привести дробные части к наименьшему общему знаменателю;
если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;
отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей;
сократить полученную дробь.
Например, 5 1/9 – 1/4 = 5 4/36 – 9/36 = 4 40/36 – 9/36 = 4 31/36.

 

Умножение дробей.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить без изменений. Например, 2/5 * 3 = (2*3)/5 = 6/5 = 1 1/5

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, надо перемножить числители и знаменатели дробей. Например, 2/3 * 4/5 = (2*4)/(3*5) = 8/15.

Чтобы умножить две смешанные дроби, надо: преобразовать смешанные дроби в неправильные; перемножить числители и знаменатели дробей. Если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную. Например, 1 2/3 * 2 1/5 = 5/3 * 11/5 = 55/15 = 11/3 = 3 2/3.

 

Деление дробей.

Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель дроби умножить на число, а числитель оставить без изменений. Например, 2/3 : 5 = 2/15.

 Чтобы разделить натуральное число на дробь, следует число умножить на дробь обратную заданной. Например, 5 : 2/5 = 5 * 5/2 = 25/2 = 12 ½.

 Чтобы разделить две дроби, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй. Например, 2/3 : 4/5 = 2/3 * 5/4 = (2*5)/(3*4) = 10/12 = 5/6.

Чтобы разделить смешанные дроби, надо: преобразовать смешанные дроби в неправильные; умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

 

 

Для закрепления навыков счета дробей с одинаковыми и разными знаменателями на сайте можно скачать программы: 

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *