Опубликовано Оставить комментарий

Разложение многочлена на множители

Разложение многочлена на множители — это представление его его в виде произведения двух или нескольких многочленов. Перед изучением данной темы повторите: многочлены и формулы сокращенного умножения.

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки

При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух множителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например: 6x + 3xy = 3x(2 + y)

Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки такой общий множитель, который является двучленом. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y). В этом многочлене общим множителем является двучлен (x + y). Вынесем его за скобки и получим (x + y) (5a+ 7a).

Разложение многочлена на множители способом группировки

Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить в качестве общего множителя за эти скобки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен ax + ay + 3x + 3y.
— члены ax и ay имеют общий множитель a: (ax + ay
— члены 3и 3y имеют общий множитель 3: (3x + 3y)
— соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»: (ax + ay) + (3x + 3y)
— вынесем за скобки общие множители, получим:  a(x + y)  и 3(+ y
— двучлен (x + y) является общим множителем, вынесем его за скобки. Получим: (x + y)(+ 3) 

Пример 2. Разложить на множители многочлен ab − 3b + b− 3a.
— Сгруппируем первый член ab с четвёртым членом −3a, второй член −3b сгруппируем с третьим членом b2. Получим: (ab − 3a) + (−3b + b2)
— В первой группе вынесем за скобки общий множитель a, во второй группе — общий множитель b. Получим: (ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(−3 + b)
— Во втором произведении b(−3 + b) в множителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)
— Получим: (ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(b − 3)
— Вынесем за скобки общий множитель (b − 3):  a(b − 3) + b(b − 3) = (b − 3)(a + b)

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений

Формулы сокращённого умножения можно применять для разложения многочленов на множители.

a+ 2ab + b= (a + b)(a + b)

Пример 3. Разложить на множители многочлен 4x2 + 12xy + 9y2
— Первый член многочлена  является результатом возведения в квадрат одночлена 2x, так как  (2x)2 = 4x2.
— Третий член 9y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 3y, так как (3y)2 = 9y2,
— Второй член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y, то есть 2 × 2x × 3y = 12xy.
— Получаем, что выражение 4x2 + 12xy + 9y2 = (2+ 3y)2 =(2x + 3y)(2x + 3y)

Пример 4. Разложить на множители многочлен x2 + 12x + 36
— Первый член — это результат возведения в квадрат одночлена x, так как  x2 = x2,
— Третий член — это результат возведения в квадрат числа 6, поскольку 62 = 36,
— Второй а член — это удвоенное произведение членов x и 6, так как 2×x×6=12x.
— Получаем: x2 + 12x + 36 = (x + 6)2 = (x + 6)(x + 6)

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений

a− 2ab + b2 = (a − b)(a − b)

Пример 5. Разложить на множители многочлен 9x2 − 12xy + 4y2
— Первый член — это результат возведения в квадрат одночлена 3x, так как (3x)2 = 9x2.
— Третий член — результат возведения в квадрат одночлена 2y, так как (2y)2 = 4y2,
— Второй член — это удвоенное произведение членов 3x и 2y, то есть 2×3x×2y= 2xy.
— Получаем: 9x2 − 12xy + 4y2 = (3x − 2y)2 = (3x − 2y)(3x − 2y)

Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений

  • Формула куба суммы двух выражений(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3
  • Поменяем местами левую и правую часть, получим: a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)3 — получим формулу разложения на множители.

a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)(a + b)(a + b)

Пример 6. Разложить на множители многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3
Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен и убедиться, что перед нами действительно куб суммы двух выражений.
— Первый член — это результат возведения в куб одночлена: m3 = m3
— Последний член — это результат возведения в куб одночлена: (2n)3 = 8n3
— Второй член — это утроенное произведение квадрата первого выражения m и последнего 2n: 
3 × m2 × 2n = 6m2n
— Третий член — это утроенное произведение первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n:
3 × m × (2n)2 = 3 × m × 4n2 = 12mn2
— Значит  исходный многочлен  соответствует кубу суммы двух выражений. Получаем: 
m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)3 = (m + 2n)(m + 2n)(m + 2n)

Пример 7. Разложить на множители многочлен 125x3 + 75x2 + 15x + 1
— Первый член — это результат возведения в куб одночлена(5x)3 = 125x3
— Последний член — это результат возведения в куб одночлена: 13 = 1
— Второй член — это утроенное произведение квадрата первого выражения 5x и последнего 1:
3 × (5x)2 × 1 = 3 × 25x2 = 75x2
— Третий член — это утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1:
3 × 5x × 12 = 15x
— Получаем: 125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)3 = (5x + 1)(5x + 1)(5x + 1)

Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений

a− 3a2b + 3ab− b3 = (a − b)(a − b)(a − b)

Пример 8. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3
— Первый член — это  результат возведения в куб одночлена: 43 = 64
— Последний член — это результат возведения в куб одночлена: (2x)3 = 8x3
— Второй член — это утроенное произведение квадрата первого выражения 4 и последнего 2x:
3 × 42 × 2x = 3 × 16 × 2x = 96x
— Третий член — это утроенное произведение первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x: 
3 × 4 × (2x)2 = 3 × 4 × 4x2 = 48x2
— Получаем: 64 − 96+ 48x− 8x3 = (4 − 2x)3 = (4 − 2x)(4 − 2x)(4 − 2x)

Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Пример 9. Разложить на множители многочлен 16x2 − 25y2
— Первый член — это результат возведения в квадрат одночлена(4x)2 = 16x2
— Второй член — это результат возведения в квадрат одночлена: (5y)2 = 25y2
— Получаем: (4x)2 − (5y)2 = (4− 5y)(4+ 5y)
— Проверка: (4− 5y)(4+ 5y) = 16x2 − 20xy + 20xy − 25y2 = 16x2 − 25y2

Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений

  • Формула сокращенного умножения(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
  • Поменяем местами левую и правую часть, получим: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) — получим формулу разложения на множители.

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

Пример 10. Разложить на множители многочлен 27x3 + 64y3
— Представим члены 27x3 и 64y3 в виде одночленов, возведённых в куб: 27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3
— Воспользуемся формулой суммы кубов:
27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3 = (3x + 4y)((3x)2 − 3x × 4y + (4y)2) = (3x + 4y)(9x2 − 12xy + 16y2)

Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений

  • Формула сокращенного умножения: (a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
  • Поменяем местами левую и правую часть, получим: a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) — получим формулу разложения на множители.

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Пример 11. Разложить на множители многочлен 64x3 − 27y3
— Представим члены 64x3 и 27y3 в виде одночленов, возведённых в куб: 64x3 − 27y3 = (4x)3 − (3y)3
— Воспользуемся формулой разности кубов:
64x3 − 27y3 = (4x)3 − (3y)3 = (4x − 3y)((4x)2 + 4x × 3y + (3y)2) = (4x − 3y)(16x2 + 12xy + 9y2)

Разложение многочлена на множители различными способами

К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.

Пример 12. Разложить на множители многочлен ax2 − ay2 
— В данном многочлене содержится общий множитель a. Вынесем его за скобки: ax2 − ay2 = a(x2 − y2)
— В скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим: ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y)

Пример 13. Разложить на множители многочлен 3x2 + 6xy + 3y2
— Вынесем за скобки общий множитель 3: 3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2)
— В скобках образовался многочлен, который является квадратом суммы двух выражений. Применив формулу, получаем: 3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2) = 3(x + y)2 = 3(x + y)(x + y).

Разложение многочлена на множителе особенно вам пригодится при делении многочленов и преобразовании выражений с многочленами.

 

Добавить комментарий