Разложение многочлена на множители

Разложение многочлена на множители — это представление его его в виде произведения двух или нескольких многочленов. Перед изучением данной темы повторите: многочлены и формулы сокращенного умножения.

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки

При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух множителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например: 6x + 3xy = 3x(2 + y)

Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки такой общий множитель, который является двучленом. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y). В этом многочлене общим множителем является двучлен (x + y). Вынесем его за скобки и получим (x + y) (5a+ 7a).

Разложение многочлена на множители способом группировки

Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить в качестве общего множителя за эти скобки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен ax + ay + 3x + 3y.
— члены ax и ay имеют общий множитель a: (ax + ay) 
— члены 3x и 3y имеют общий множитель 3: (3x + 3y)
— соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»: (ax + ay) + (3x + 3y)
— вынесем за скобки общие множители, получим:  a(x + y)  и 3(x + y) 
— двучлен (x + y) является общим множителем, вынесем его за скобки. Получим: (x + y)(a + 3) 

Пример 2. Разложить на множители многочлен ab − 3b + b² − 3a.
— Сгруппируем первый член ab с четвёртым членом −3a, второй член −3b сгруппируем с третьим членом b². Получим: (ab − 3a) + (−3b + b²)
— В первой группе вынесем за скобки общий множитель a, во второй группе — общий множитель b. Получим: (ab − 3a) + (−3b + b²) = a(b − 3) + b(−3 + b)
— Во втором произведении b(−3 + b) в множителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)
— Получим: (ab − 3a) + (−3b + b²) = a(b − 3) + b(b − 3)
— Вынесем за скобки общий множитель (b − 3):  a(b − 3) + b(b − 3) = (b − 3)(a + b)

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений

Формулы сокращённого умножения можно применять для разложения многочленов на множители.

• Формула квадрата суммы двух выражений: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Поменяем местами левую и правую часть, получим: a² + 2ab + b² = (a + b)² — получим формулу разложения на множители.

a² + 2ab + b² = (a + b)(a + b)

Пример 3. Разложить на множители многочлен 4x² + 12xy + 9y²
— Первый член многочлена  является результатом возведения в квадрат одночлена 2x, так как  (2x)² = 4x².
— Третий член 9y² является результатом возведения в квадрат одночлена 3y, так как (3y)² = 9y²,
— Второй член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y, то есть 2 × 2x × 3y = 12xy.
— Получаем, что выражение 4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)² =(2x + 3y)(2x + 3y)

Пример 4. Разложить на множители многочлен x² + 12x + 36
— Первый член — это результат возведения в квадрат одночлена x, так как  x² = x²,
— Третий член — это результат возведения в квадрат числа 6, поскольку 6² = 36,
— Второй а член — это удвоенное произведение членов x и 6, так как 2×x×6=12x.
— Получаем: x² + 12x + 36 = (x + 6)² = (x + 6)(x + 6)

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений

• Формула квадрата разности двух выражений: (a − b)² = a² − 2ab + b²
• Поменяем местами левую и правую часть, получим:  a² − 2ab + b² = (a − b)² — получим формулу разложения на множители.

a² − 2ab + b² = (a − b)(a − b)

Пример 5. Разложить на множители многочлен 9x² − 12xy + 4y²
— Первый член — это результат возведения в квадрат одночлена 3x, так как (3x)² = 9x².
— Третий член — результат возведения в квадрат одночлена 2y, так как (2y)² = 4y²,
— Второй член — это удвоенное произведение членов 3x и 2y, то есть 2×3x×2y= 2xy.
— Получаем: 9x² − 12xy + 4y² = (3x − 2y)² = (3x − 2y)(3x − 2y)

Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений

• Формула куба суммы двух выражений: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• Поменяем местами левую и правую часть, получим: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³ — получим формулу разложения на множители.

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)(a + b)(a + b)

Пример 6. Разложить на множители многочлен m³ + 6m²n + 12mn² + 8n³
Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен и убедиться, что перед нами действительно куб суммы двух выражений.
— Первый член — это результат возведения в куб одночлена: m³ = m³
— Последний член — это результат возведения в куб одночлена: (2n)³ = 8n³
— Второй член — это утроенное произведение квадрата первого выражения m и последнего 2n: 
3 × m² × 2n = 6m²n
— Третий член — это утроенное произведение первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n:
3 × m × (2n)² = 3 × m × 4n² = 12mn²
— Значит  исходный многочлен  соответствует кубу суммы двух выражений. Получаем: 
m³ + 6m²n + 12mn² + 8n³ = (m + 2n)³ = (m + 2n)(m + 2n)(m + 2n)

Пример 7. Разложить на множители многочлен 125x³ + 75x² + 15x + 1
— Первый член — это результат возведения в куб одночлена: (5x)³ = 125x³
— Последний член — это результат возведения в куб одночлена: 1³ = 1
— Второй член — это утроенное произведение квадрата первого выражения 5x и последнего 1:
3 × (5x)² × 1 = 3 × 25x² = 75x²
— Третий член — это утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1:
3 × 5x × 1² = 15x
— Получаем: 125x³ + 75x² + 15x + 1 = (5x + 1)³ = (5x + 1)(5x + 1)(5x + 1)

Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений

• Формула куба разности двух выражений: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
• Поменяем местами левую и правую часть, получим: a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = (a − b)³  — получим формулу разложения на множители.

a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = (a − b)(a − b)(a − b)

Пример 8. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x² − 8x³
— Первый член — это  результат возведения в куб одночлена: 4³ = 64
— Последний член — это результат возведения в куб одночлена: (2x)³ = 8x³
— Второй член — это утроенное произведение квадрата первого выражения 4 и последнего 2x:
3 × 4² × 2x = 3 × 16 × 2x = 96x
— Третий член — это утроенное произведение первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x: 
3 × 4 × (2x)² = 3 × 4 × 4x² = 48x²
— Получаем: 64 − 96x + 48x² − 8x³ = (4 − 2x)³ = (4 − 2x)(4 − 2x)(4 − 2x)

Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений

• Формула умножения разности двух выражений на их сумму: (a − b)(a + b) = a² − b²
• Поменяем местами левую и правую часть, получим: a² − b² = (a − b)(a + b) — получим формулу разложения на множители.

a² − b² = (a − b)(a + b)

Пример 9. Разложить на множители многочлен 16x² − 25y²
— Первый член — это результат возведения в квадрат одночлена: (4x)² = 16x²
— Второй член — это результат возведения в квадрат одночлена: (5y)² = 25y²
— Получаем: (4x)² − (5y)² = (4x − 5y)(4x + 5y)
— Проверка: (4x − 5y)(4x + 5y) = 16x² − 20xy + 20xy − 25y² = 16x² − 25y²

Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений

• Формула сокращенного умножения: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³
• Поменяем местами левую и правую часть, получим: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) — получим формулу разложения на множители.

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Пример 10. Разложить на множители многочлен 27x³ + 64y³
— Представим члены 27x³ и 64y³ в виде одночленов, возведённых в куб: 27x³ + 64y³ = (3x)³ + (4y)³
— Воспользуемся формулой суммы кубов:
27x³ + 64y³ = (3x)³ + (4y)³ = (3x + 4y)((3x)² − 3x × 4y + (4y)²) = (3x + 4y)(9x² − 12xy + 16y²)

Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений

• Формула сокращенного умножения: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³
• Поменяем местами левую и правую часть, получим: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) — получим формулу разложения на множители.

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Пример 11. Разложить на множители многочлен 64x³ − 27y³
— Представим члены 64x³ и 27y³ в виде одночленов, возведённых в куб: 64x³ − 27y³ = (4x)³ − (3y)³
— Воспользуемся формулой разности кубов:
64x³ − 27y³ = (4x)³ − (3y)³ = (4x − 3y)((4x)² + 4x × 3y + (3y)²) = (4x − 3y)(16x² + 12xy + 9y²)

Разложение многочлена на множители различными способами

К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.

Пример 12. Разложить на множители многочлен ax² − ay² 
— В данном многочлене содержится общий множитель a. Вынесем его за скобки: ax² − ay² = a(x² − y²)
— В скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим: ax² − ay² = a(x² − y²) = a(x − y)(x + y)

Пример 13. Разложить на множители многочлен 3x² + 6xy + 3y²
— Вынесем за скобки общий множитель 3: 3x² + 6xy + 3y² = 3(x² + 2xy + y²)
— В скобках образовался многочлен, который является квадратом суммы двух выражений. Применив формулу, получаем: 3x² + 6xy + 3y² = 3(x² + 2xy + y²) = 3(x + y)² = 3(x + y)(x + y).

Разложение многочлена на множителе особенно вам пригодится при делении многочленов и преобразовании выражений с многочленами.