Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения двух или нескольких многочленов. Этот навык — один из ключевых в алгебре. Без умения выполнять разложение многочлена на множители невозможно решать квадратные уравнения, сокращать дроби и упрощать сложные выражения. В этой статье мы разберём 5 основных способов разложения многочлена на множители с подробными примерами. Перед изучением данной темы рекомендуем повторить: многочлены и формулы сокращенного умножения.
1. Разложение многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки
Это самый простой способ. Разложение многочлена на множители начинается именно с него. При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух множителей: один — одночлен, другой — многочлен.
Пример: 6x + 3xy = 3x(2 + y).
Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки общий множитель-двучлен. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y). Здесь общий множитель — (x + y). Вынесем его за скобки: (x + y)(5a + 7a).
2. Разложение многочлена на множители способом группировки
Некоторые многочлены содержат группы членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель. Это один из самых популярных методов разложения многочлена на множители.
Пример 1. Разложим на множители многочлен ax + ay + 3x + 3y.
— Члены ax и ay имеют общий множитель a: (ax + ay)
— Члены 3x и 3y имеют общий множитель 3: (3x + 3y)
— Соединим выражения знаком «плюс»: (ax + ay) + (3x + 3y)
— Вынесем общие множители: a(x + y) и 3(x + y)
— Общий множитель (x + y) выносим за скобки: (x + y)(a + 3).
Пример 2. Разложим на множители многочлен ab – 3b + b² – 3a.
— Сгруппируем: (ab – 3a) + (–3b + b²)
— Вынесем общие множители: a(b – 3) + b(–3 + b)
— Во втором слагаемом b(b – 3). Получаем: a(b – 3) + b(b – 3) = (b – 3)(a + b).
3. Разложение многочлена на множители по формулам сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения можно применять для разложения многочлена на множители. Рассмотрим каждую из них.
3.1. Квадрат суммы
Формула: a² + 2ab + b² = (a + b)(a + b).
Пример 3. Разложим 4x² + 12xy + 9y².
— (2x)² = 4x², (3y)² = 9y², 2·2x·3y = 12xy.
— Получаем: (2x + 3y)² = (2x + 3y)(2x + 3y).
Пример 4. Разложим x² + 12x + 36 = (x + 6)² = (x + 6)(x + 6).
3.2. Квадрат разности
Формула: a² – 2ab + b² = (a – b)(a – b).
Пример 5. Разложим 9x² – 12xy + 4y² = (3x – 2y)² = (3x – 2y)(3x – 2y).
3.3. Куб суммы
Формула: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b).
Пример 6. Разложим m³ + 6m²n + 12mn² + 8n³ = (m + 2n)³ = (m + 2n)(m + 2n)(m + 2n).
Пример 7. 125x³ + 75x² + 15x + 1 = (5x + 1)³ = (5x + 1)(5x + 1)(5x + 1).
3.4. Куб разности
Формула: a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³ = (a – b)(a – b)(a – b).
Пример 8. 64 – 96x + 48x² – 8x³ = (4 – 2x)³ = (4 – 2x)(4 – 2x)(4 – 2x).
3.5. Разность квадратов
Формула: a² – b² = (a – b)(a + b).
Пример 9. 16x² – 25y² = (4x – 5y)(4x + 5y).
3.6. Сумма кубов
Формула: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²).
Пример 10. 27x³ + 64y³ = (3x + 4y)(9x² – 12xy + 16y²).
3.7. Разность кубов
Формула: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).
Пример 11. 64x³ – 27y³ = (4x – 3y)(16x² + 12xy + 9y²).
4. Комбинированное разложение многочлена на множители
К некоторым многочленам можно применять различные способы. Например, сначала вынести общий множитель за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения. Такое комбинированное разложение многочлена на множители часто встречается в задачах повышенной сложности.
Пример 12. Разложим ax² – ay².
— Вынесем общий множитель a: a(x² – y²)
— В скобках — разность квадратов: a(x – y)(x + y).
Пример 13. Разложим 3x² + 6xy + 3y².
— Вынесем 3: 3(x² + 2xy + y²)
— В скобках — квадрат суммы: 3(x + y)² = 3(x + y)(x + y).
5. Зачем нужно разложение многочлена на множители?
Разложение многочлена на множители особенно пригодится при делении многочленов, сокращении алгебраических дробей и решении уравнений. Без этого навыка невозможно успешно сдать экзамены по математике. Практикуйтесь на примерах из статьи — и вы быстро освоите все способы разложения многочлена на множители.