Деление многочлена — это операция деления, в которой нужно разделить многочлен на другой многочлен или одночлен. Рассмотрим разные случаи деления многочленов, чтобы разобраться в данной теме.
Перед изучением данной темы повторите: многочлены, формулы сокращенного умножения и разложение многочлена на множители.
Деление многочлена на одночлен
Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно разделить каждый член многочлена на одночлен, затем сложить полученные частные.
Пример 1. Разделить многочлен 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3 на одночлен xy.
— Делим каждый член многочлена 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3> на одночлен xy.
— Получающиеся частные сложим: 15xy2 + 10y + 5y2.
— Проверка: произведение полученного многочлена 15xy2 + 10y + 5y2 и делителя xy должно быть равно многочлену 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3 :
(15xy2 + 10y + 5y2)*xy = 15x2y3 + 10xy2 + 5xy3
Деление многочлена на одночлен очень похоже на сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Одночлен берёт на себя роль общего знаменателя для всех членов многочлена.
Например, при делении многочлена ax + bx + cx на многочлен x, образуется три дроби с общим знаменателем x. Вычисление каждой дроби даст в результате многочлен a + b + c.
Деление одночлена на многочлен
Не существует тождественного преобразования, позволяющего разделить одночлен на многочлен.
Пример 2. Разделить одночлен 2xy на многочлен 5x + 3y + 5.
Результатом этого деления должен быть одночлен 2xy, который получается путем умножения многочлена 5x +3y+5 и другого одночлена или многочлена. Но такого не существует.
Но в учебниках можно встретить задания на нахождение значения выражения при заданных значениях переменных. В этом случае никаких преобразований выполнять не нужно. Достаточно подставить значения переменных в исходное выражение и вычислить получившееся числовое выражение.
При этом делимое и делитель можно записать в качестве дроби и упростить выражение для дальнейших вычислений.
Деление многочлена на многочлен
Если первый многочлен умножить на второй многочлен, получается третий многочлен. Например, если умножить многочлен x+5 на многочлен x+3, получается многочлен x2+8x+15.
Тогда согласно этому правилу, деление полученного нами многочлена x2 + 8x + 15 на многочлен x + 3 должно давать в результате многочлен x + 5.
Для решения примеров, где в качестве делимого и делителя являются многочлены, часто требуются формулы разложения многочлена на множители. При этом для каждого примера нужно подбирать наиболее подходящие.
Пример 3. Разделить многочлен x2+8x+15 на многочлен x+5.
Чтобы выполнить деление многочлена на многочлен, нужно воспользоваться разложением многочлена на множители. Для выражения x2+8x+15 можно применить способ группировки:
x2+3x+5x+15 =
x(x+3)+5(x+3) =
(x+3)(x+5).
Получаем, что нам нужно разделить (x+3)(x+5) на x+5. Данные действие в этом случае выполняется просто, в итоге получаем многочлен x+3.
После выполнения деления можно выполнить проверку, умножив частное на делитель. В нашем случае, если частное x + 5 умножить на делитель x + 3, должен получаться многочлен x2 + 8x + 15:
(x + 5)(x + 3) = x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15
Пример 4. Разделить многочлен x2 − 8x + 7 на многочлен x − 7
— Разложим многочлен на множители способом группировки: x2 − 8x + 7 =x2 − 7x − 1x+ 7 = x(x-7)- 1(x-7) = (x-7)(x-1)
(единица записана для наглядности, при решении примеров она не записывается).
— Делим выражение (x-7)(x-1) на x−7 и получаем x-1.
Следует быть внимательным c отрицательными членами. Часто на этом этапе допускаются ошибки. В этом случае лучше поэтапно раскладывать многочлены на множители и прописывать все знаки.
Также бывают случаи, когда за скобки нужно такой множитель, чтобы в скобках остался делитель.
Пример 5. Разделить многочлен x6 + 2x4 + x7 + 2x5 на многочлен x2 + x3
— Перегруппируем слагаемые и разложим многочлен на множители таким образом, чтобы одно из слагаемых было x2 + x3:
x6 +x7 + 2x4+2x5 =
x4(x2 + x3)+2x2(x2 + x3) =
(x4 + 2x2)(x2 + x3).
— Делим выражение (x4 + 2x2)(x2 + x3) на x2 + x3 и получаем x4 + 2x2.
— Выполним проверку: (x4 + 2x2)(x2 + x3) = x4 (x2 + x3) + 2x2(x2 + x3) = x6 + 2x4 + x7 + 2x5
— При перемножении многочленов члены исходных многочленов тоже желательно упорядочивать в порядке убывания степеней: x7 + x6 + 2x5 + 2x4.
Часто при решении примеров нужно применять формулы сокращенного умножения.
Пример 6. Разделить многочлен x4 + 6x4 + 9 на многочлен x2 + 3.
В данном случае применяется формула сокращенного умножения: x4 + 6x4 + 9 = (x2 + 3) (x2 + 3).
Делим выражение (x2 + 3) (x2 + 3). на x2+3 и получаем x2+3.
Сложные примеры на деление многочленов
Бывают случаи, когда нельзя сразу применить формулы разложения на множители. Например, это может после умножения каждого члена многочленов и приведения подобных слагаемых (в некоторых случаем подобные слагаемые могут дать нулевой результат).
В этом случае нужно привести делимое к такому виду, чтобы сформировать один из множителей, равный делителю.
Пример 7. Разделить многочлен 4a4 − 14a3b − 24a2b2 − 54b4 на многочлен a2 − 3ab − 9b2
Перегруппируем слагаемые и разложим многочлен на множители таким образом, чтобы одно из слагаемых было a2 − 3ab − 9b2:
4a4 − 14a3b − 24a2b2 − 54b4 = 4a4 − 12a3b − 2a3b −36a2b2 +12a2b2 − 54b4
То есть: − 14a3b= −12a3b −2a3b, − 24a2b2= − 36a2b2 +12a2b2
Получаем: =( 4a4 − 12a3b − 36a2b2) − 2a3b + 12a2b2 — 54b4= 4a2(a4-3ab − 9b2)− 2b(a3 — 6a2b + 27b3)
Рассмотрим выражение a3 — 6a2b + 27b3
Нам нужно данное выражение привести к такому виду, чтобы получить множитель a2−3ab−9b2.
Для этого:
— первое слагаемое представим как a3 = a*a2
— второе слагаемое представим как — 6a2b= — 3a2b -3a2b, где -3a2b = a*(-3ab)
— третье слагаемое получим как a*(-9b2), для этого прибавим и вычтем 9ab2.
Получим:
a3 − 3a2b − 3a2b + 9ab2 − 9ab2 + 27b3 =
a3 − 3a2b − 9ab2 − 3a2b+ 9ab2 + 27b3 =
a(a2 − 3ab − 9b2) — 3b(a2 — 3ab + 9b2) =
(a2 − 3ab − 9b2) (a- 3b)
Получаем:
4a2(a4-3ab − 9b2)− 2b(a3 — 6a2b + 27b3) =
4a2(a4-3ab − 9b2)− 2b(a2 − 3ab − 9b2) (a- 3b) =
4a2(a4-3ab − 9b2)−(a2 − 3ab − 9b2) (2ab- 6b2)
Сгруппируем множители:
(a4-3ab − 9b2) (4a2-(2ab- 6b2)) =
(a4-3ab − 9b2) (4a2-2ab+ 6b2)
Делим выражение (a4-3ab − 9b2) (4a2-2ab+ 6b2) на a4-3ab − 9b2 и получаем 4a2-2ab+ 6b2
Выполним проверку: ( 4a2 − 2ab + 6b2)(a2 − 3ab − 9b2)= 4a4 − 2a3b + 6a2b2
Кстати, такой способ также можно использовать в том случае, если вы забыли формулы сокращенного умножения и разделения многочлена на множители.
Когда деление многочленов невозможно
Деление многочлена на многочлен невозможно в случае, если степень делимого окажется меньше степени делителя.
Например, нельзя разделить многочлен x3 + x на многочлен x4 + x2, поскольку делимое является многочленом третьей степени, а делитель — многочленом четвёртой степени.
При этом делимое и делитель можно записать в качестве дроби и упростить выражение для дальнейших вычислений. Например, можно попробовать разделить многочлен x3 + x на многочлен x4 + x2, и даже получить частное x−1 (или 1/х), которое при перемножении с делителем будет давать делимое.