Опубликовано Оставить комментарий

Делители и кратные натуральных чисел

нод нокВ статье рассмотрим делители и кратные натуральных чисел:
➤ понятие делителей и кратных чисел;
➤ простые и составные числа, признаки делимости;
➤ разложение составного числа на множители;
➤ нахождение делителей числа;
➤ НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное).

➤ Понятие: делители и кратные чисел

Делитель — это число, на которое нужно разделить.
Пример 1. В выражении 21 : 7 = 3, делителем является число 7, потому что число 21 делится на число 7 без остатка).
Пример 2. Число 12 делится без остатка на числа 1, 2, 3, 4, 6, 12. Поэтому все эти числа являются делителями числа 12.

Кратное — это число, которое без остатка делится на другое число.
Пример 1. Число 6  делится на 3 без остатка. Поэтому 6 является кратным числа 3.
Пример 2. Кратными числа 5 являются числа 5, 10, 15, 20, 25 и т.д.. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка. У любого числа бесконечно много кратных.

 

➤  Простые и составные числа

Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя. Значит, число 5 является простым числом.

Последовательность простых чисел начинается так:  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Составным называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него более 2 делителей: 1, 2 и 4. Значит, число 4 является составным числом.

 

➤  Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Признак делимости на 2
Любое четное число делится на 2.

  • Четным называется число, которое делится без остатка на 2 (например, 0, 2, 4, 6, 8, 10 и т.д.)
  • Нечетным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1 (например, 1, 3, 5, 7, 9 и т.д.)

Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. 

Признак делимости на 5
Любое число, которое оканчивается на 0 или 5, делится на 5.

Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27. Сумма его цифр равна 9 (2 + 7 = 9). Девять делится на 3, значит 27 делится на 3.

Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр равна 9 (1 + 8 = 9). Девять делится на девять, значит 18 делится на 9.

 

➤  Разложение составного числа на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители, то есть представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.
Например: 18 = 2 × 3 × 3, 210 = 2 × 3 × 5 × 7
Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым числом.
Например: 180 = 18 × 10 = 3×6  ×  5×2 = 3 × 2×3 ×  5×2.

Удобно раскладывать составное число на простые множители по схеме: проводится вертикальная линия. Слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители. При разложении числа этим способом, используют признаки делимости.

180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5

Когда в итоге получена единица, деление завершается. При этом нужно проверить, чтобы делители, записанные справа от вертикальной линии, были простыми числами. 

 

➤  Нахождение делителей числа

Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим пример.

Пример 1. Найти делители числа 12.
Чтобы понять, как эти получаются делители, разложим число 12 на простые множители: 12=2×2×3
Таким образом, мы получили делители числа 12: 1, 2, 3 и 12.
Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой: 2×2=4,  2×3=6. 
Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

На основании примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:

  • записать в качестве первого делителя единицу;
  • разложить исходное число на простые множители; 
  • найти все возможные произведения полученных простых множителей между собой. 

 

➤  НОД — наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел a и b — это наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Пример. Найдем НОД для чисел 18 и 24.
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей.
Чтобы найти НОД, нужно разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них:
1) 18 = 2 × 3 × 3
2) 24 =2 × 2 × 2 × 
Перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.
Общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить: 2 × 3 = 6
Получаем: НОД (24, 18) = 6

Наибольший общий делитель можно также находить для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого все числа раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например. Найдём НОД для чисел 18,  24  и  36
1) 18 = 2 × 3 × 3
2) 24 =2 × 2 × 2 × 
3) 36 = 2 × 2 ×  3 × 3
Общие множители для чисел 18, 24 и 36 — это 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения.
Получаем: НОД (24, 18, 36) = 6

 

➤  НОК — наименьшее общее кратное.

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это самое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Пример. Найдем НОК для чисел 9 и 12.
Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое делится на 9 и 12.
Чтобы найти НОК, нужно разложить оба числа на простые множители.
1) 9 = 3 × 3
2) 12=2 × 2 × 
Затем выписываются все множители, входящие в первое разложение (3 × 3) и добавляют недостающие множители из второго разложения (2 × 2). Полученные множители перемножают и получают НОК.
Получаем: 3 × 3 × 2 × 2 = 36   ➤   НОК (9, 12) = 36

На сайте также есть калькулятор для нахождения НОД и НОК (для самоконтроля).

 

Добавить комментарий