Функции: их свойства и графики

Функция — это зависимость одной переменной (зависимой переменной y) от другой переменной (независимой переменной x), при которой каждому значению x соответствует одно значение y. Обозначается y=f(x), где f — это правило или закон, который задает связь между x и y.

Основные свойства функций

Область определения функции (D(f)) — это множество всех возможных значений переменной x, при которых функция определена. Например, для функции f(x)=1/x​, область определения — все числа, кроме x=0.

Область значений функции (E(f)) — это множество всех значений, которые принимает функция f(x). Например, для функции f(x)=x2, область значений — все неотрицательные числа y≥0.

Нули функции — это значения x, при которых f(x)=0. Это точки пересечения графика функции с осью Ox.

Четность и нечетность:
➜ Четная функция: f(x)=f(−x). График четной функции симметричен относительно оси Oy. Пример: f(x)=x².
➜ Нечетная функция: f(x)=−f(−x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Пример: f(x)=x³.

Периодичность — если для любого x выполняется f(x+T)=f(x), то функция называется периодической, а T — её период. Пример: f(x)=sin⁡(x), где период T=2π.

Возрастание и убывание:
➜ Функция возрастает на промежутке, если для любых x1<x2​ выполнено f(x1)<f(x2).
➜ Функция убывает на промежутке, если для любых x1<x2 выполнено f(x1)>f(x2)).

Экстремумы — это максимальные или минимальные значения функции на определенных промежутках. Точка максимума — это точка, в которой функция принимает наибольшее значение на данном промежутке, а точка минимума — наименьшее.

Асимптоты — это прямые, к которым график функции приближается на бесконечности. Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Основные типы функций и их графики

1. Линейная функция

Функция вида y=kx+b, где k и b — константы.

График: прямая линия.
Свойства:
Если k>0, функция возрастает.
Если k<0, функция убывает.
b определяет точку пересечения графика с осью Oy — это (0,b).

Пример: y=2x+1
График: прямая с угловым коэффициентом k=2 и точкой пересечения с осью Oy в (0,1).

2. Квадратичная функция (парабола)

Функция вида y=ax²+bx+c, где a≠0.

График: парабола.
Свойства:
Если a>0, ветви параболы направлены вверх.
Если a<0, ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке x=−b/2a​.
Функция четная, если b=0.

Пример: y=x2−4x+3
График: парабола, вершина которой находится в точке (2,−1), нули функции — x=1 и x=3.

3. Кубическая функция (гипербола)

Функция вида y=ax³+bx²+cx+d.

График: кубическая кривая.
Свойства:
Если a>0, функция возрастает в обеих бесконечностях.
Если a<0, функция убывает в обеих бесконечностях.
Может иметь одну или три точки пересечения с осью Ox.

Пример: y=x³
График: кривая, симметричная относительно начала координат (нечетная функция).

4. Модульная функция

Функция вида y=∣x∣.

График: угол с вершиной в начале координат.
Свойства:
Функция четная.
Возрастает при x>0 и убывает при x<0.
Минимум функции равен 0 и достигается в точке x=0.

Пример: y=∣x∣
График: V-образная кривая с вершиной в точке (0,0).

5. Показательная функция

Функция вида y=a^x, где a>0 и a≠1.

График: экспоненциальная кривая.
Свойства:
Если a>1, функция возрастает.
Если 0<a<1, функция убывает.
Функция не пересекает ось Ox, но приближается к ней (горизонтальная асимптота).

Пример: y=2^x
График: кривая, стремящаяся к нулю при x→−∞ и резко возрастающая при x→+∞.

6. Логарифмическая функция

Функция вида y=log⁡a(x), где a>0 и a≠1.

График: логарифмическая кривая.
Свойства:
Если a>1, функция возрастает.
Если 0<a<1, функция убывает.
Определена только при x>0.
Вертикальная асимптота на оси Oy.

Пример: y=log⁡2(x)
График: возрастает, пересекает ось Ox в точке (1,0).

7. Тригонометрические функции

• Синус: y=sin⁡(x)

Периодическая функция с периодом 2π.
Колеблется между −1 и 1.

• Косинус: y=cos⁡(x)

Периодическая функция с периодом 2π.
Колеблется между −1 и 1.

• Тангенс: y=tan⁡(x)

Периодическая функция с периодом π.
Имеет вертикальные асимптоты в точках x=π/2+kπ.