График показательной функции

Показательная функция записывается в виде f(x)=a^x, где a>0 и a≠1a. Основные особенности графика показательной функции зависят от значения основания $a$.

Общие свойства показательной функции:

1. Область определения: x∈(−∞,+∞), то есть функция определена для всех значений $x$.
2. Область значений: y>0, так как a^x всегда положительно для любых x.
3. Асимптота: Ось xx (прямая y=0y = 0y=0) является горизонтальной асимптотой. Это означает, что график приближается к оси x при x→−∞, но никогда её не пересекает.
4. Точка пересечения с осью y: график всегда проходит через точку (0,1), так как a⁰=1.
5. Монотонность: Поведение графика зависит от основания a:
   • Если a>1, функция возрастает.
   • Если 0<a<1, функция убывает.

График показательной функции

График показательной функции — это кривая, которая описывает рост или убывание функции вида y=a^x, где a>0 и a≠1. 

График показательной функции отражает либо быстрое возрастание, либо быстрое убывание, в зависимости от значения основания a.

Этапы построения графика показательной функции:

1. Определить область определения: Показательная функция a^x определена для всех значений x.
2. Найти ключевые точки:
   • При x=0, всегда a⁰=1 (независимо от основания $a$, график проходит через точку (0,1).
   • Подставляем несколько значений x, чтобы получить несколько точек на графике.
3. Построить ось симметрии и отметить асимптоту:
   • Для всех a>0, y→0 при x→−∞, то есть график приближается к оси $x$, но никогда её не пересекает (ось $x$ — это горизонтальная асимптота).
4. Определить монотонность функции:
   • Если a>1, функция возрастает: при увеличении x значения y быстро растут.
   • Если 0<a<1, функция убывает: при увеличении x значения $y$ уменьшаются.
5. Построить симметричную часть графика для отрицательных x:
   • Для отрицательных значений $x$, график будет симметрично приближаться к оси $x$, но не пересекать её.
6. Провести через точки плавную кривую: Соедините ключевые точки плавной линией, которая будет отражать характер показательной функции.

Пример 1: f(x)=2^x

1. Область определения: x∈(−∞,+∞).
2. Ключевые точки:
   • f(0)=2⁰=1 — точка (0,1).
   • f(1)=2¹=2 — точка (1,2).
   • f(−1)=2⁻¹=1​ — точка (−1,0.5).
3. Асимптота: При x→−∞, f(x)→0, но не пересекает ось x.
4. Монотонность: Функция возрастает, так как 2>1.
5. Симметричная часть для отрицательных x:
   Например, f(−2)=2⁻²=1/4​ — точка $)$.
6. Построение кривой: Соединяем точки плавной кривой.

Пример 2: f(x)=(1/2)^x

1. Область определения: x∈(−∞,+∞).
2. Ключевые точки:
   • f(0)=(1/2)⁰=1 — точка (0,1).
   • f(1)=(1/2)¹=1/2​ — точка (1,0.5).
   • f(−1)=(1/2)⁻¹=2 — точка (−1,2).
3. Асимптота: При x→+∞, f(x)→0, график приближается к оси x.
4. Монотонность: Функция убывает, так как 0<1/2<1.
5. Симметричная часть для отрицательных x:
   • Например, f(−2)=(1/2)⁻²=4 — точка (−2,4).
6. Построение кривой: Соединяем точки плавной кривой.