График логарифмической функции

График логарифмической функции y=log⁡_a(x), где a>1, имеет следующие ключевые особенности:

Основные характеристики:

1. Область определения: логарифмическая функция определена только для положительных значений x, то есть x>0.
2. Область значений: функция y=log⁡_a(x) может принимать любые значения от −∞ до +∞.
3. Точка пересечения с осью x: график пересекает ось x в точке (1,0), так как log⁡_a(1)=0 независимо от значения основания a.
4. Асимптота: график имеет вертикальную асимптоту, которая совпадает с осью y (прямая x=0). График приближается к этой асимптоте, но никогда её не пересекает.
5. Монотонность: логарифмическая функция возрастает, если основание a>1. При этом функция растет медленно по мере увеличения x.
6. Форма графика: график начинается от вертикальной асимптоты и растет, постепенно увеличиваясь и приближаясь к бесконечности, но при этом он не достигает горизонтального уровня.

Пример 1: y=log⁡₁₀(x)

1. Область определения: x>0.
2. Ключевые точки:
   • log⁡₁₀(1)=0, точка (1,0).
   • log⁡₁₀(10)=1, точка (10,1).
   • log⁡₁₀(0.1)=−1, точка (0.1,−1).
3. Асимптота: Вертикальная асимптота x=0.
4. Монотонность: Функция возрастает.

Пример 2: y=log⁡₂(x)

1. Область определения: x>0.
2. Ключевые точки:
   • log⁡₂(1)=0, точка (1,0).
   • log⁡₂(2)=1, точка (2,1).
   • log⁡₂(0.5)=−1, точка (0.5,−1).
3. Асимптота: Вертикальная асимптота x=0.
4. Монотонность: Функция возрастает.

Пример 3: y=log⁡_0,5(x)

1. Область определения: x>0.
2. Ключевые точки:
   • log⁡_0,5(1)=0, точка (1,0).
   • log⁡_0,5(2)=-1, точка (2,-1).
   • log⁡_0,5(0.5)=1, точка (0.5,1).
3. Асимптота: Вертикальная асимптота x=0.
4. Монотонность: Функция убывает.