Свойства степеней с натуральным показателем

В статье рассмотрим свойства степеней с натуральным показателем:

произведение степеней;
частное степеней;
возведение степени в степень;
возведение в степень произведения;
возведение в степень частного;
сравнение степени с нулем;
сравнение aⁿ и bⁿ;
сравнение a^m и aⁿ;
возведение в степень обыкновенных дробей;
возведение в степень обыкновенных дробей.

Свойство 1: произведение степеней (главное свойство степени)

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

aⁿ × a^m = a^{n + m}

a — основание степени
m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Можно применить для неограниченного количества множителей:

aⁿ¹ × aⁿ²× …× aⁿ= a^{n1 + n2 + … + n}

Пример. 2²×2³= 2²⁺³= 2⁵

Свойство 2: частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

aⁿ : a^m = a^{n — m}

a — любое число, не равное нулю
m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Пример. 2⁷:2³= 2^7-3= 2⁴

Свойство 3: возведение степени в степень

При возведении степень в степень основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

(aⁿ)^m = a^{n × m}

a — основание степени
m, n — показатели степени, натуральное число/

Пример. (3²)²= 3⁴= 81

Свойство 4: возведение в степень произведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

**(a × b)ⁿ = aⁿ*× bⁿ***

a, b — основание степени
n — показатели степени, натуральное число

Пример. (2×4)³= 2³×4³=8+64=72

Свойство 5: возведение в степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

**(a : b)ⁿ = aⁿ*: bⁿ***

a, b — основание степени, b ≠ 0,
n — показатель степени, натуральное число

Пример. (6:2)³= 6³:2³=216:8=27

Свойство 6: сравнение степени с нулем

если a>0, то при любом натуральном n, aⁿ будет больше нуля;
если a=0, то aⁿ будет равно нулю;
если а<0 и показатель степени — четное число 2⋅m, то a^2⋅m будет больше нуля;
если а<0 и показатель степени — нечетное число 2⋅m-1, то a^2⋅m-1 будет меньше нуля.

a, b — основание степени, b ≠ 0,
n — показатель степени, натуральное число

Пример. (6:2)³= 6³:2³=216:8=27

Свойство 7: сравнение aⁿ и bⁿ

Неравенство aⁿ<bⁿ будет справедливо для любого натурального n при условии, что a<b, a и b больше нуля, n — целое положительное.

Свойство 8: сравнение a^m и aⁿ

Неравенство a^m>aⁿ будет верным при условии, что a>1, m>n, m и n – натуральные числа.
Неравенство a^m<aⁿ будет верным при условии, что 0<a<1, m>n, m и n – натуральные числа.

Свойство 9: возведение в степень обыкновенных дробей

Чтобы возвести в степень обыкновенную дробь, нужно возвести в указанную степень числитель и знаменатель этой дроби.

Пример.(1/6)³= 1³/6³

Свойство 10: возведение в степень десятичных дробей

При возведении в степень десятичной дроби её необходимо заключить в скобки.
Например, возведём в третью степень десятичную дробь -1,5. Показатель степени является нечётным числом, значит ответ будет отрицательным и равен -3,375.

Допускается переводить десятичную дробь в обыкновенную и возводить в степень эту обыкновенную дробь. Решим предыдущий пример, переведя десятичную дробь в обыкновенную:
(15/10)³=(3/2)³= 3³/2³

Смотрите также:

Свойство 1: произведение степеней (главное свойство степени)

an × am = an + m

an1 × an2 × …× an = an1 + n2 + … + n