Свойства степеней с натуральным показателем

В статье рассмотрим свойства степеней с натуральным показателем:

  1. произведение степеней;
  2. частное степеней;
  3. возведение степени в степень;
  4. возведение в степень произведения;
  5. возведение в степень частного;
  6. сравнение степени с нулем;
  7. сравнение  an и bn;
  8. сравнение  am и an;
  9. возведение в степень обыкновенных дробей;
  10. возведение в степень обыкновенных дробей.

Свойство 1: произведение степеней (главное свойство степени)

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

an × am = an + m 

a — основание степени
m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Можно применить для неограниченного количества множителей:

an1 × an2 × …× a= an1 + n2 + … + n 

Пример. 22×23= 22+3= 25

Свойство 2: частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

an : am = an — m 

a — любое число, не равное нулю
m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Пример. 27:23= 27-3= 24

Свойство 3: возведение степени в степень

При возведении степень в степень основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

(an)m = an × m 

a — основание степени
m, n — показатели степени, натуральное число/

Пример. (32)2 = 34 = 81

Свойство 4: возведение в степень произведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a × b)n = a× bn

a, b — основание степени
n — показатели степени, натуральное число

Пример. (2×4)3= 23×43=8+64=72

Свойство 5: возведение в степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = a: bn

a, b — основание степени, b ≠ 0, 
n — показатель степени, натуральное число

Пример. (6:2)3= 63:23=216:8=27

Свойство 6: сравнение степени с нулем

  • если a>0, то при любом натуральном n, an будет больше нуля;
  • если a=0, то an будет равно нулю;
  • если а<0 и показатель степени — четное число 2⋅m, то a2⋅m будет больше нуля;
  • если а<0 и показатель степени — нечетное число 2⋅m-1, то a2⋅m-1 будет меньше нуля.

a, b — основание степени, b ≠ 0, 
n — показатель степени, натуральное число

Пример. (6:2)3= 63:23=216:8=27

Свойство 7: сравнение  an и bn

Неравенство an<bn будет справедливо для любого натурального n при условии, что a<b,  a и b больше нуля, n — целое положительное.

Свойство 8: сравнение  am и an

  • Неравенство am>an будет верным при условии, что a>1,  m>n, m и n  – натуральные числа.
  • Неравенство am<an будет верным при условии, что 0<a<1,  m>n, m и n  – натуральные числа.

Свойство 9: возведение в степень обыкновенных дробей

Чтобы возвести в степень обыкновенную дробь, нужно возвести в указанную степень числитель и знаменатель этой дроби.

Пример.(1/6)3= 13/63

Свойство 10: возведение в степень десятичных дробей

При возведении в степень десятичной дроби её необходимо заключить в скобки.
Например, возведём в третью степень десятичную дробь -1,5. Показатель степени является нечётным числом, значит ответ будет отрицательным и равен -3,375.

Допускается переводить десятичную дробь в обыкновенную и возводить в степень эту обыкновенную дробь. Решим предыдущий пример, переведя десятичную дробь в обыкновенную:
(15/10)3=(3/2)3= 33/23

Смотрите также:

Оцените статью
( 1 оценка, средний 5 от 5 )
ПОЛЕЗНЫЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ УЧЕБЫ И РАБОТЫ
Добавить комментарий

Этот сайт защищен reCAPTCHA и применяются Политика конфиденциальности и Условия обслуживания применять.

Срок проверки reCAPTCHA истек. Перезагрузите страницу.