Решение квадратных уравнений представляет собой решение уравнения вида: a·x2+b·x+c=0,
где x – переменная, a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения. При этом:
a — первый (старший) коэффициент, который не равен нулю (a ≠ 0),
b – второй коэффициент,
c — свободный член.
Важно: если квадратное уравнение имеет вид a·x2–b·x–c=0, то второй коэффициент будет равен (–b), а свободный член (–c), то есть в качестве коэффициентов будут отрицательные числа.
Также квадратное уравнение называют уравнением второй степени, так как оно представляет собой уравнение, содержащее переменную во второй степени.
Примеры квадратного уравнения: 9x2+16x+2=0; 7x2+3x+11=0 и т.п.
Найти корень уравнения — значит найти такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Формула для решения квадратного уравнения
x =( -b ± √D)/2a, где
|
Таким образом, решение квадратного уравнения сводится к нахождению от 0 до 2 корней в зависимости от значения дискриминанта (возможно Вас заинтересует как находить корни):
D>0 — уравнение имеет 2 корня: x1 =( -b+√D)/2a, x2 =( -b-√D)/2a
|
При решении квадратных уравнений важно помнить законы математики:
- когда мы переносим слагаемое из одной части уравнения в другую, оно меняют знак на противоположный;
- если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Для данного действия нужно уметь находить НОК и НОД.
Скачать программу, которая формирует квадратные уравнения. В программе можно выбрать уровень сложности (наличие коэффициента для неизвестного, полные и неполные квадратные уравнения ). |
Примеры решений квадратных уравнений
Пример 1. D > 0, уравнение имеет 2 различных корня:
2x2 + 7x — 4 = 0
a = 2, b = 7, c = -4
D = 72 — 4 • 2 • (- 4) = 81 > 0
x1 = (-7 — 9) / (2•2) = — 4
x2 = (-7 + 9) / (2•2) = 1/2
Пример 2. D = 0, уравнение имеет один корень:
x2 — 4x + 4 = 0
D = (-4)2 — 4 • 1 • 4 = 0
x =-(-4 ± 0 ) / (2•1) = 2
Пример 3. D < 0, уравнение не имеет корней, так как не существует дискриминанта:
3x2 — x + 7 = 0
D = (-1)2 — 4 • 3 • 7 = -83
Проверить правильность решения можно с помощью калькулятора решения квадратного уравнения.
Решение квадратных уравнений путем разложения на множители
Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле:
ax2 + bx + c = a(x — x1)(x — x2)
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
- Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен единице.
Например: x2 — 2x + 6 = 0; x2 — x — 1/4 = 0. В каждом из них старший коэффициент равен единице, значит уравнение называется приведенным. - Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.
Например: 2x2 − 4x — 12 = 0. Первый коэффициент отличен от единицы, значит это неприведенное квадратное уравнение.
Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент. При этом у преобразованного уравнения будут те же корни, что и у первоначального.
Полные и неполные квадратные уравнения
Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.
Если a = 0, то уравнение будет иметь вид линейного: bx + c = 0.
- Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax2 + c = 0.
- Если c = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax2 + bx = 0.
- Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax2 = 0.
Решение неполных квадратных уравнений
ax2 = 0
Уравнение ax2 = 0 выполняется в том случае, если один из множителей равен нулю.
- Если a ≠ 0, тогда x2 = 0, следовательно x=0;
- Если a = 0, тогда x2 — любое число.
Пример: 6x2 = 0.
Решение: 6x2 = 0, x2 = 0, x = √0, x = 0
ax2 + с = 0
Для решения квадратного уравнения такого вида нужно перенести c в правую часть: ax2 = — c, а затем
разделить обе части на a: x2 = — c/а.
- если (— c/а) < 0, то уравнение x2 = — c/а не имеет корней, так как квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу;
- если (— c/а) > 0, то уравнение имеет два корня x = √-c/a и x = -√-c/a.
Пример 1. 8x2 + 32 = 0.
Решение: 8x2 = — 32, x2 = — 4. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
Пример 2. 8x2 — 32 = 0.
Решение: 8x2 = 32, x2 = 4. Ответ: x1=2, x2=-2.
ax2 + bx = 0
Неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Для этого вынесем за скобки общий множитель x. Получим: x * (ax + b) = 0.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
- x = 0, корень которого равен x = 0;
- ax + b = 0, линейное уравнение, корень которого равен: x = −b/a.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня.
Пример. 0,5×2 + 0,125x = 0
Решение: х(0,5x + 0,125) = 0. Получаем два уравнения:
1) x = 0
2) 0,5x + 0,125 = 0; 0,5x = 0,125; x = 0,125/0,5; x = 0,25.
Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.
Скачать программу, которая формирует квадратные уравнения. В программе можно выбрать уровень сложности (наличие коэффициента для неизвестного, полные и неполные квадратные уравнения ). |
Если вам показалось очень сложным решение квадратных уравнений, то возможно нужно повторить правила и свойства решения простых уравнений.
Для решения уравнений вам также могут понадобится темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.
Спасибо за статью, взяла в закладки.
Boт здecь нeпpaвильнo нaпиcaнo: x =(-4 ± 0 ) / (2•1) = 2. Это понятно для сильных математиков, а для слабых надо все разжёвывать, поэтому нaдo былo нaпиcaть тaк: x =( -(-4) ± 0 ) / (2•1) = 2. И eщё, в тpeтьeм пpимepe D дoлжeн быть paвeн -8З, a нe -8.
Спасибо за поправки! Все исправила.
P.S. Прошлый комментарий перепутала с калькулятором.
Указываю на ошибку во втором приведенном примере: х 2 — 4х + 4 = 0. В самом решении есть ошибка. Надо -4 взять в скобки и перед скобкой поставить ещё один минус, тогда минус на минус даёт плюс и ответ получается 2. А у вас только один минус перед 4, и получатся -4 : 2 = не 2, а это будет -2. При корне -2 уравнение неправильное.
В уравнении а=1 b=-4 c=4
Дискриминант считается b2-4ac = (-4)2 — 4*1*4 (b — отрицательное в скобках, а=1 положительное, c=4 положительное)
Корень считается -b/2a = -(-4)/(2*1) минус на минус дает плюс, поэтому сразу записывается 4.