Решение квадратных уравнений: формула, примеры

Решение квадратных уравнений представляет собой решение уравнения вида: a·x²+b·x+c=0,
где x – переменная, a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения. При этом:
a — первый (старший) коэффициент, который не равен нулю (a ≠ 0),
b – второй коэффициент,
c — свободный член.

Важно: если квадратное уравнение имеет вид a·x²–b·x–c=0, то второй коэффициент будет равен (–b), а свободный член (–c), то есть в качестве коэффициентов будут отрицательные числа.

Также квадратное уравнение называют уравнением второй степени, так как оно представляет собой уравнение, содержащее переменную во второй степени.

Примеры квадратного уравнения: 9x²+16x+2=0;  7x²+3x+11=0 и т.п. 

Найти корень уравнения — значит найти такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Формула для решения квадратного уравнения

x =( -b ± √D)/2a, где  D = b2 − 4ac (D-дискриминант)

Таким образом, решение квадратного уравнения сводится к нахождению от 0 до 2 корней в зависимости от значения дискриминанта (возможно Вас заинтересует как находить корни):

D>0 — уравнение имеет 2 корня: x1 =( -b+√D)/2a, x2 =( -b-√D)/2a D=0 — уравнение имеет 1 корень: x =( -b)/2a D<0 — уравнение не имеет корней

При решении квадратных уравнений важно помнить законы математики:

• когда мы переносим слагаемое из одной части уравнения в другую, оно меняют знак на противоположный;
• если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Для данного действия нужно уметь находить НОК и НОД.

Скачать программу, которая формирует квадратные уравнения. В программе можно выбрать уровень сложности (наличие коэффициента для неизвестного, полные и неполные квадратные уравнения ).

Примеры решений квадратных уравнений

Пример 1.  D > 0, уравнение имеет 2 различных корня:
2x² + 7x — 4 = 0
a = 2, b = 7, c = -4
D = 7² — 4 • 2 • (- 4) = 81 > 0
x₁ = (-7 — 9) / (2•2) = — 4
x₂ = (-7 + 9) / (2•2) = 1/2

Пример 2.  D = 0, уравнение имеет один корень:
x² — 4x + 4 = 0
D = (-4)² — 4 • 1 • 4 = 0
x =-(-4 ± 0 ) / (2•1) = 2

Пример 3. D < 0, уравнение не имеет корней, так как не существует дискриминанта:
3x² — x + 7 = 0
D = (-1)² — 4 • 3 • 7 = -83

Проверить правильность решения можно с помощью калькулятора решения квадратного уравнения.

 

Решение квадратных уравнений путем разложения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле:
ax² + bx + c = a(x — x₁)(x — x₂)

 

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

• Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен единице.
  Например: x² — 2x + 6 = 0; x² — x — 1/4 = 0. В каждом из них старший коэффициент равен единице, значит уравнение называется приведенным.
• Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.
  Например: 2x² − 4x — 12 = 0. Первый коэффициент отличен от единицы, значит это неприведенное квадратное уравнение. 

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент. При этом у преобразованного уравнения будут те же корни, что и у первоначального. 

 

Полные и неполные квадратные уравнения

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.
Если a = 0, то уравнение будет иметь вид линейного: bx + c = 0.

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² = 0.

Решение неполных квадратных уравнений

ax² = 0

Уравнение ax² = 0 выполняется в том случае, если один из множителей равен нулю.

• Если a ≠ 0, тогда x² = 0, следовательно x=0;
• Если a = 0, тогда x² — любое число.

Пример:  6x² = 0.
Решение: 6x² = 0, x² = 0, x = √0, x = 0

ax² + с = 0

Для решения квадратного уравнения такого вида нужно перенести c в правую часть: ax² = — c, а затем
разделить обе части на a: x² = — c/а.

• если (— c/а) < 0, то уравнение x² = — c/а не имеет корней, так как квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу;
• если (— c/а) > 0, то уравнение имеет два корня x = √-c/a и x = -√-c/a.

Пример 1. 8x² + 32 = 0.
Решение: 8x² = — 32,  x² = — 4. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
Пример 2. 8x² — 32 = 0.
Решение: 8x² = 32,  x² = 4. Ответ: x₁=2, x₂=-2.

ax² + bx = 0

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители.  Для этого вынесем за скобки общий множитель x. Получим:  x * (ax + b) = 0.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

• x = 0, корень которого равен  x = 0;
• ax + b = 0, линейное уравнение, корень которого равен: x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня.

Пример. 0,5×2 + 0,125x = 0
Решение: х(0,5x + 0,125) = 0. Получаем два уравнения: 
1) x = 0 
2) 0,5x + 0,125 = 0; 0,5x = 0,125; x = 0,125/0,5; x = 0,25.
Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Скачать программу, которая формирует квадратные уравнения. В программе можно выбрать уровень сложности (наличие коэффициента для неизвестного, полные и неполные квадратные уравнения ).

Если вам показалось очень сложным решение квадратных уравнений, то возможно нужно повторить правила и свойства решения простых уравнений.

Для решения уравнений вам также могут понадобится темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.