Тема в математике «Корень и его свойства» нередко вызывает затруднения у школьников, особенно при решении примеров. В данной статье описаны основные свойства корней, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления. Наглядные примеры помогаю понять, как решать задания с корнями.
Определение «Корень»
Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если число a возвести во вторую степень (в квадрат).
Например, √64 = 8 (√64 равно числу 8).
Формула: √a2 = a
Число, стоящее под знаком корня, называется подкоренным числом. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его называют подкоренным выражением.
Свойство квадратного корня: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа, так как возведение числа в квадрат будет всегда неотрицательным числом.
Извлечение корней: примеры
Извлечь корень — значит найти значение корня (то есть найти число, при возведении которого в степень, получается подкоренное значение).
Например, извлечь корень из 64 – значит найти √64.
Найти корень из числа можно одним из следующих способов:
- Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д. В данном случае нужно просто найти нужное число в таблице и посмотреть, какому значению оно соответствует.
- Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители.
Порядок нахождения корня в этом случае будет следующим:
1. Разложение подкоренного значения на простые множители,
2. Объединение одинаковых множителей и их представление в виде степени с необходимым показателем.
Например, √144 = √2х2х2х2х3х3 = √(2х2)х(2х2)х(3х3) = √22х22х32 = √122 = 12
3. В случае, если невозможно найти корень из числа, то можно упростить подкоренное выражение (число). В этом случае применяется следующее правило: корень из произведения чисел равен произведению корней этих чисел.
Например, √72 = √2х2х2х3х3 = √(2х2)х2х(3х3) = √22х2х32 = √62х2 = 6√2 - Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.
Например, √130=√13х5х2 – упростить нельзя.
- Извлечение корня из дроби. В этом случае применяются следующие правила:
1. дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби;
2. корень из дроби равен частному от деления корня числителя на корень знаменателя.
Например, √3,24 = √324/100 = √81/25 = √81 / √25 = 9/5 = 1,8. - Извлечение нечетной степени из отрицательных чисел. Чтобы извлечь корень нечетной степени из отрицательного числа необходимо извлечь его из положительного числа и поставить перед ним знак минус.
Например, чтобы найти корень третьей степени из (-125), нужно найти корень третьей степени из 125 (будет 5) и подставить знак минуса (будет -5).
Скачать программу «Корни квадратные», которая формирует задания на вычисление квадратных корней, в том числе: приведение, сложение, вычитание, умножение и деление. |
Приведение корней с разными показателями
Для того, чтобы упростить выражение с корнями, которое содержит корни разных степеней, необходимо привести все корни к одной степени.
Для этого воспользуемся следующим свойством дроби: a = n√an.
Например, есть квадратный корень (второй степени √2 ) и кубический корень (третьей степени 3√3).
Во-первых, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для степеней. В нашем примере НОК=6 (2х3).
Во-вторых, применим свойство a = n√an: √2 = 2√2 = 6√23 = 6√8; 3√3 = 6√32 = 6√9
Получилось два корня одинаковой степени, с которыми можно совершать различные математические действия.
Корень: сложение и вычитание корней
Основное правила сложения и вычитания квадратных корней: сложение и вычитание квадратного корня возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.
Примеры:
2√3 + 3√3 = 5√3
2√3 + 2√4 – не выполняется.
При этом, нужно рассмотреть возможность упростить выражения.
Пример: 2√3 + 3√12 = 2√3 + 3√2х2х3 = 2√3 + 3√ 22х3 = 2√3 + 6√3 = 8√3.
Алгоритм действия:
1. Упростить подкоренное выражение путем разложения на простые множители.
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня.
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!
Корень: умножение
Умножение корней без множителей
Произведение корней из чисел равно корню из произведения этих чисел.
√a*b=√a*√b
Важно: между собой можно умножать только одинаковые степени корней, то есть можно умножить один квадратный корень на другой, но нельзя умножить квадратный корень на корень кубической степени.
Примеры:
√2 х √3 = √6
√6 х √3 = √18 = √3х3х2 = 3√2
Умножение корней с множителями
При умножении корней с множителями нужно отдельно перемножить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно перемножать между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени (см. умножение корней без множителей). В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Примеры:
3√2 х √5 = (3х1) √(2*5) = 3√10
4√2 х 3√3 = (3х4) √(2х3) = 12√6
Корень: деление
Основной правило деления — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители.
√a:b=√a:√b
В процессе деления квадратных корней дроби упрощаются.
Деление корней без множителей
Частное корней из чисел равно корню из частного этих чисел.
Важно: между собой можно делить только одинаковые степени корней, то есть можно делить один квадратный корень на другой, но нельзя делить квадратный корень на корень кубической степени.
Пример. √21:√3=√21:3=√7
Деление квадратных корней с множителями
При делении корней с множителями нужно отдельно разделить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно делить между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени. В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Пример. 12√32 : 6√16 = (12:6) √(32:16) = 2√2.
Примеры для практики
Скачать программу «Корни квадратные», которая формирует задания на вычисление квадратных корней, в том числе: приведение, сложение, вычитание, умножение и деление. |