Прямоугольник — это самая узнаваемая геометрическая фигура. Дверь, экран телефона, лист бумаги или футбольное поле — всё это прямоугольники. С точки зрения математики, прямоугольник — это четырехугольник, у которого все четыре угла прямые (то есть равны 90°).
Важно понимать, что прямоугольник — это «родственник» других фигур. Он является частным случаем параллелограмма (поэтому у него все свойства параллелограмма тоже работают), а также частным случаем ромба (если стороны равны, он становится квадратом). Зная это, многие свойства прямоугольника можно даже не заучивать, а просто вывести из того факта, что углы у него прямые.
Основные свойства прямоугольника (отличия от параллелограмма)
Поскольку прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами, у него есть одно ключевое уникальное свойство, которого нет у обычного параллелограмма.
➜ Диагонали прямоугольника равны. Это главный «маркер». В обычном параллелорамме диагонали только пересекаются и делятся пополам, но они разной длины. А в прямоугольнике они еще и равны между собой, при этом точкой пересечения (точка О) делятся пополам, как и положено в параллелограмме.
Из этого следует важный вывод: точка пересечения диагоналей равноудалена от всех вершин.
Прямоугольник и окружность
Благодаря равенству диагоналей и прямых углов, прямоугольник идеально «дружит» с окружностями.
Описанная окружность. Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Это значит, что все четыре вершины лежат на одной окружности. Центр описанной окружности находится ровно в точке пересечения диагоналей (точка О), а радиус равен половине диагонали. Это логично: если диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то расстояние от точки О до любой вершины одинаково.
Вписанная окружность. А вот вписать окружность в прямоугольник (чтобы она касалась всех четырех сторон) можно далеко не всегда. Вспоминаем правило: в четырехугольник можно вписать окружность, только если суммы противоположных сторон равны. Для прямоугольника это условие означает, что сумма длин двух соседних сторон должна быть равна сама себе (a+b = a+b), что всегда верно, но есть нюанс: окружность можно вписать только в тот прямоугольник, у которого стороны равны, то есть в квадрат. В обычный «длинный» прямоугольник (например, 2×5) вписать окружность, касающуюся всех сторон, не получится.
Основные формулы (периметр, площадь, диагональ)
Зная свойства прямоугольника, легко вывести все формулы. Главный инструмент здесь — теорема Пифагора, так как диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника.
Периметр прямоугольника — это сумма длин всех сторон. Так как противоположные стороны равны, формула выглядит так:
Площадь прямоугольника — самая простая формула в геометрии. Площадь равна произведению длины на ширину.
Но есть и второй способ, через диагонали. Так как диагонали равны и пересекаются под углом γ (гамма), площадь можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними. Для прямоугольника это особенно удобно, если известна диагональ и угол.
Связь сторон и диагонали (теорема Пифагора). Так как угол между сторонами прямой, диагональ d является гипотенузой треугольника с катетами a и b:
Радиус описанной окружности R, как мы уже выяснили, равен половине диагонали:
R = d / 2 = (√(a² + b²)) / 2
где:
a, b — длины сторон прямоугольника,
d-диагональ,
P-периметр,
S-площадь,
γ – угол между диагоналями.
Калькулятор для прямоугольника поможет вычислить все характеристики прямоугольника (стороны, диагонали, периметр, площадь, радиус описанной окружности) по известным величинам.
Калькулятор для вычисления площади прямоугольника и квадрата вычисляет площадь данных фигур и работает в разных направлениях.
 |
Скачать программы, которые формируют задания на нахождение периметра и площади геометрических фигур, а также неизвестных характеристик (сторон, диагоналей и др.), в том числе для: квадрата, прямоугольника, треугольника, трапеции и другие. |