Геометрия: свойства параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

При этом параллелограмм обладает всеми свойствами четырехугольника.  Поэтому запоминать надо свойства, которые характерны для параллелограмма.

Определения:

Высота параллелограмма (h) — это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.

Частными случаями параллелограмма являются ромб, прямоугольник и квадрат.

Свойства углов и сторон параллелограмма

• Сумма углов параллелограмма  равна 360°
• Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°. 
  На рисунке: ∠A+∠B=180∘,∠A+∠D=180∘,∠C+∠B=180∘,∠C+∠D=180∘.
• У параллелограмма противоположные  углы равны.
  На рисунке: ∠A=∠C,∠B=∠D.
• У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны.
  На рисунке: AB||CD и BC||AD; AB=CD,BC=AD.

Диагонали параллелограмма

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  На рисунке: AO=CO,BO=DO.
• Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
• Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника (равны площади всех 4-х треугольников).
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Признаки параллелограмма

1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AB=CD,BC=AD.
2. Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: ∠A=∠C,∠B=∠D.
3. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AB=CD,AB||CD.
4. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AO=CO,BO=DO.

Параллелограмм и окружность

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Таким образом, если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.
Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Таким образом, параллелограмм, вписанный в окружность – это прямоугольник. Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Основные формулы:

Стороны и диагональ связаны соотношением:

Периметр параллелограмма:

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

2. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Комментарий:

• a, b — длины сторон,
• d1, d2 –диагонали,
• P-периметр,
• S-площадь,
  h-высота, проведенная к противоположной стороне
• α — угол между сторонами параллелограмма,
• γ — угол между диагоналями параллелограмма (острый).