Геометрия: свойства параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

При этом параллелограмм обладает всеми свойствами четырехугольника.  Поэтому запоминать надо свойства, которые характерны для параллелограмма.

Определения:

Высота параллелограмма (h) — это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.

Частными случаями параллелограмма являются ромб, прямоугольник и квадрат.

Свойства углов и сторон параллелограмма

• Сумма углов параллелограмма  равна 360°
• Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°. 
  На рисунке: ∠A+∠B=180∘,∠A+∠D=180∘,∠C+∠B=180∘,∠C+∠D=180∘.
• У параллелограмма противоположные  углы равны.
  На рисунке: ∠A=∠C,∠B=∠D.
• У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны.
  На рисунке: AB||CD и BC||AD; AB=CD,BC=AD.

Диагонали параллелограмма

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  На рисунке: AO=CO,BO=DO.
• Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
• Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника (равны площади всех 4-х треугольников).
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Признаки параллелограмма

1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AB=CD,BC=AD.
2. Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: ∠A=∠C,∠B=∠D.
3. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AB=CD,AB||CD.
4. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. На рисунке: AO=CO,BO=DO.

Параллелограмм и окружность

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Таким образом, если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.
Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Таким образом, параллелограмм, вписанный в окружность – это прямоугольник. Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Основные формулы:

Стороны и диагональ связаны соотношением:

Периметр параллелограмма:

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

2. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Также см. Калькулятор для расчета площади параллелограмма и ромба

Комментарий:

• a, b — длины сторон,
• d1, d2 –диагонали,
• P-периметр,
• S-площадь,
  h-высота, проведенная к противоположной стороне
• α — угол между сторонами параллелограмма,
• γ — угол между диагоналями параллелограмма (острый).