Решение простых уравнений — одна из базовых тем для усвоения, при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.
Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную. Значение данной переменной требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.
Переменную, входящую в уравнение, еще называют неизвестным.
Примеры:
➜ выражение 3+2=5 является равенством, так как при вычислении получаем 5=5
➜ выражение 3+х=5 является уравнением, так как содержит переменную х, значение которой можно найти.
Решить уравнение — значит найти такое значение х, чтобы равенство было верным.
То есть, в уравнении 3+х=5 значение будет равно 2 (х=2), чтобы получилось верное равенство.
При этом говорят, что 2 — это корень уравнения или решение уравнения 3+х=5.
Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.
Компоненты
Компонентами называются числа и переменные, которые входят в равенство:
➜ компоненты сложения — слагаемые и сумма;
➜ компоненты вычитания — уменьшаемое, вычитаемое и разность;
➜ компоненты умножения — множители и произведение;
➜ компоненты деления — делимое, делитель и частное.
Правила нахождения неизвестных
Чтобы выразить переменную через другие числа, нужно переменную оставить (или перенести) в левой части выражения, а все числа перенести в правую часть.
Решение простых уравнений подразумевает применение следующих правил:
- чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
- чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
- чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
- чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Примеры:
3+х=5.
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 5 и 3, чтобы получить переменную х.
Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: х=5-3.
х-3=7
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 3 и 7, чтобы получить переменную х.
Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое: х=7+3.
8-х=6
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 8 и 6, чтобы получить переменную х.
Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: х=8-6.
3×а=6 (а-переменная)
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 3 и 6, чтобы получить переменную а.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель
а:4=3(а-переменная)
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 4 и 3, чтобы получить переменную а.
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: а=3*4
12:а=3(а-переменная)
Нужно задать вопрос: что сделать с числами 12 и 3, чтобы получить переменную а.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: а=12:3.
 |
Скачать программу, которая формирует простые линейные уравнения. В программе можно выбрать уровень сложности (вид и количество действий, наличие скобок). |
Если неизвестное имеет коэффициент
Решение простых уравнений сводится к тому, что неизвестное нужно выразить через другие числа. Но чаще всего задаются уравнения, в которых неизвестное имеет коэффициент, например: 2х, 5х и т.д. В таких случаях неизвестное нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент. Поэтому нужно привести это уравнение к виду, в котором переменная будет выражена.
Рассмотрим пример: 2х+4=8.
В данном примере: 2x — первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.
➜ Принимает слагаемое 2х за неизвестное слагаемое. Применяем правило нахождения
➜ неизвестного слагаемого: вычитаем из суммы известное слагаемое. Получаем: 2х=8-4 или 2*х=4.
➜ Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с умножением. Применяем правило нахождения неизвестного множителя: произведение делим на известный множитель. Получаем: х=4:2; х=2
➜ Вычислим правую часть, получим значение переменной х.
➜ Проверяем: 2*2+4=8. Равенство верное.
|
Скачать программу, которая формирует линейные уравнения с неизвестным, имеющим коэффициент. В программе можно выбрать уровень сложности (вид и количество действий, наличие скобок). |
Если уравнение имеет неизвестные с разными коэффициентами
Рассмотрим пример: a+2a+3a=30.
Cразу выразить неизвестное нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить. Для этого нужно сложить все неизвестные величины с коэффициентами: 1а+2а+3а=6а (а — это переменная с коэффициентом 1. который не пишется).
Получаем уравнение вида: 6*а=30. Его можно решить как простое уравнение. Получаем корень: а=5.
Равносильные уравнения
Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.
Из предыдущего примера: уравнение a+2a+3a=30 и уравнение 6а=30 являются равносильными.
Проверим это. Подставим корень сначала в уравнение a+2a+3a=30, а затем в уравнение 6а=30, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства.
Для удобства решения можно любое уравнение преобразовать в равносильное. Для этого можно применить законы математики и свойства уравнений.
Свойства уравнений
➜ Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
➜ Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
Пример. Решить уравнение 5х-10=20.
Вычтем из обеих частей уравнения число 10, получим: 5х=20-10 или 5х=10.
В результате получилось равносильное уравнение , корень которого равен 2.
Пример. Решить уравнение 4(х+3)=20.
Раскроем скобки: 4х+12=20.
Вычтем из обеих частей уравнения число 12, получим: 4х=20-12 или 4х=8.
В результате получилось равносильное уравнение , корень которого равен 2.
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.
Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные числа.
Пример. Решить уравнение (1/4)х+5=6,5
При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.
Для упрощения обе части уравнения можно умножить на 4: 4*(1/4)х+4*5=4*6,5 или х+20=26.
В результате останется простейшее уравнение. Получаем, что корень равен 6.
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение. Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример. Решить уравнение 8х+16=56
Для упрощения обе части уравнения можно разделить на 8: 8х:8+16:8=56:8 или х+2=7.
В результате останется простейшее уравнение. Получаем, что корень равен 5.
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение. Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Если обе части уравнения умножить на минус единицу (поменять знаки), то получится уравнение равносильное данному.
Это правило следует из того, что если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю, то получится равносильное уравнение. Иногда это нужно для того, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.
Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.
При этом минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.
Пример. Решить уравнение: 2х-5х+10=4.
Приведем подобные слагаемые: -3х+10=4
Перенесем второе слагаемое в правую часть: -3х=-6
Для удобства умножим обе части на (-1). получим: 3х=6.
Корень: х=2.
Уравнение имеет несколько корней
Уравнение может иметь несколько корней.
Рассмотрим уравнение: x(x + 9) = 0.
Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет выполняться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю. Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и −9.
Уравнение имеет бесконечно много корней
Уравнение может иметь бесконечно много корней, когда при подстановке подставив в такое уравнение любого числа, мы получим верное равенство.
Например: рассмотрим простое уравнение 6*(х+2)=6х+12. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 6х+12= 6х+12. Это равенство будет выполняться при любом х.
Уравнение не имеет корней
Бывает и так, что уравнение совсем не имеет корней.
Например: уравнение х+2=х.
Данное уравнение не имеет корней, так как при любом значении х, левая часть уравнения всегда будет больше правой на 2.
Таким образом, мы рассмотрели в статье решение разных видов простых уравнений. Решение более сложных уравнений без знания данного материала практически невозможно.
Далее вы можете переходить к решению квадратных уравнений и решению систем линейных уравнений.
Для решения уравнений вам также могут понадобится темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.