Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений следует после изучения основ решения простых уравнений. Системы уравнений применяют в том случае, когда в задании более одного неизвестного.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Как правило, если в задании необходимо найти два неизвестных, то необходимо решение систем, состоящих из двух линейных уравнений, три неизвестных — из трех уравнений и т.д. Отметим, что не всегда количество неизвестных будет совпадать с количеством уравнений в системе (такие системы уравнений рассматривают в старших классах).

В данной статье речь пойдет о решении систем двух уравнений с двумя переменными, за исключением пункта «решение систем линейных уравнений методом Гаусса», где мы рассмотрим систему с тремя переменными.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения является любая пара чисел (x; y), которая обращает уравнение в верное числовое равенство.

• Если рассматривать одно уравнение ax + by + c = 0, то к нему можно подобрать бесконечное множество корней.
• Если рассматривать систему уравнений, состоящую из двух уравнений, то неизвестные х и у будут связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем.

Графически это можно представить так:

• Каждое линейное уравнение представляет собой множество точек, которые лежат на одной прямой. Таким образом: первому уравнению соответствует одна прямая, второму — другая прямая.
• Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение.
  Если две прямые параллельны — значит они не пересекаются и система не будет иметь решений.
  Если две прямые совпадают — каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Метод подстановки

Метод подстановки знаком из курса школьной математики, его изучают в 7 классе. Это самый лёгкий способ решения систем линейных уравнений.

Алгоритм решения:

1. Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
2. Подставить это выражение в другое уравнение системы вместо этой переменной.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить значение полученной переменной (шаг 3) в выражение другой переменной (из шага 1).

Пример 1:

• Выразим x из первого уравнения: 
  x  = 4 + y
• Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
  x + 2y = 10  → 4 + y + 2y = 10
• >Решим второе уравнение относительно переменной y:
  4+y+2y=10 → 4+3y=10 → 3y=10−4 → 3y=6 → y=6:3 → y=2
• Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
  x=4+y → x=4+2 → x=6
• Ответ: (6; 2).

Пример 2:

• Выразим переменную x из первого уравнения: x = 7−5y
• Выражение (7−5y) подставим вместо переменной x во второе уравнение:
  3x=4+2y → 3*(7−5y)=4+2y
• Решим второе линейное уравнение в системе:
  3*(7−5y)=4+2y → 21−15y=4+2y → 21−17y = 4 → 17y=21−4 → 17y=17 → y = 1
• Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
  x+5y=7 → x+5=7 → x=7−5 → x=2
• Ответ: (2; 1).

Метод сложения

Алгоритм решения:

1. Умножить уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты для одной из переменных стали противоположными числами (при необходимости).
2. Сложить почленно левые и правые части уравнений системы.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4. Найти соответствующие значения второй переменной.

Пример 3:

• Умножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:

• Сложим уравнения, получим: -2x+2x+6y+4y=−22-8  →  10y=-30
• Получаем: y = -3, x = 2
• Ответ: (2; -3).

Решение систем линейных уравнений с тремя переменными

Уравнение с тремя переменными имеет вид: ax + by + cz = d. 
В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член.
Системы с тремя переменными решают так же, как и с двумя. 
Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то получается система трех уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Пример 4:

• Находим значение y из третьего уравнения: y=2
• Найдем z из второго уравнения:
  3y+2z=12 →  6+2z=12 →  2z=6 →  x=3
• Подставляем значения y и z в первое уравнение и находим x:
  x+2*2+2*3=8  →  x+4+6=8 →  x+10=8 →  x=-2

Таким образом, мы рассмотрели в статье решение систем линейных  уравнений. Решение более сложных уравнений без знания данного материала практически невозможно.
Повторить пройденный материал: решение простых уравнений и решение квадратных уравнений.

Для решения уравнений вам также могут понадобится темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.