Решение систем линейных уравнений следует после изучения основ решения простых уравнений. Системы уравнений применяют в том случае, когда в задании более одного неизвестного.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Как правило, если в задании необходимо найти два неизвестных, то необходимо решение систем, состоящих из двух линейных уравнений, три неизвестных — из трех уравнений и т.д. Отметим, что не всегда количество неизвестных будет совпадать с количеством уравнений в системе (такие системы уравнений рассматривают в старших классах).
В данной статье речь пойдет о решении систем двух уравнений с двумя переменными, за исключением пункта «решение систем линейных уравнений методом Гаусса», где мы рассмотрим систему с тремя переменными.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения является любая пара чисел (x; y), которая обращает уравнение в верное числовое равенство.
- Если рассматривать одно уравнение ax + by + c = 0, то к нему можно подобрать бесконечное множество корней.
- Если рассматривать систему уравнений, состоящую из двух уравнений, то неизвестные х и у будут связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем.
Графически это можно представить так:
- Каждое линейное уравнение представляет собой множество точек, которые лежат на одной прямой. Таким образом: первому уравнению соответствует одна прямая, второму — другая прямая.
- Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение.
Если две прямые параллельны — значит они не пересекаются и система не будет иметь решений.
Если две прямые совпадают — каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений.
Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Метод подстановки
Метод подстановки знаком из курса школьной математики, его изучают в 7 классе. Это самый лёгкий способ решения систем линейных уравнений.
Алгоритм решения:
- Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
- Подставить это выражение в другое уравнение системы вместо этой переменной.
- Решить полученное уравнение с одной переменной.
- Подставить значение полученной переменной (шаг 3) в выражение другой переменной (из шага 1).
Пример 1:
{ | x − y = 4 |
x + 2y = 10 |
- Выразим x из первого уравнения:
x = 4 + y - Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10 → 4 + y + 2y = 10 - >Решим второе уравнение относительно переменной y:
4+y+2y=10 → 4+3y=10 → 3y=10−4 → 3y=6 → y=6:3 → y=2 - Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x=4+y → x=4+2 → x=6 - Ответ: (6; 2).
Пример 2:
{ | x + 5y = 7 |
3x = 4 + 2y |
- Выразим переменную x из первого уравнения: x = 7−5y
- Выражение (7−5y) подставим вместо переменной x во второе уравнение:
3x=4+2y → 3*(7−5y)=4+2y - Решим второе линейное уравнение в системе:
3*(7−5y)=4+2y → 21−15y=4+2y → 21−17y = 4 → 17y=21−4 → 17y=17 → y = 1 - Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x+5y=7 → x+5=7 → x=7−5 → x=2 - Ответ: (2; 1).
Метод сложения
Алгоритм решения:
- Умножить уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты для одной из переменных стали противоположными числами (при необходимости).
- Сложить почленно левые и правые части уравнений системы.
- Решить получившееся уравнение с одной переменной.
- Найти соответствующие значения второй переменной.
Пример 3:
{ | x−3y=11 |
2x+4y+8=0 |
- Умножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:
{ | −2x+6y=−22 |
2x+4y=-8 |
- Сложим уравнения, получим: -2x+2x+6y+4y=−22-8 → 10y=-30
- Получаем: y = -3, x = 2
- Ответ: (2; -3).
Решение систем линейных уравнений с тремя переменными
Уравнение с тремя переменными имеет вид: ax + by + cz = d.
В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член.
Системы с тремя переменными решают так же, как и с двумя.
Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то получается система трех уравнений с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Пример 4:
{ | x + 2y +z = 8 |
3y + 2z = 12 | |
3y = 6 |
- Находим значение y из третьего уравнения: y=2
- Найдем z из второго уравнения:
3y+2z=12 → 6+2z=12 → 2z=6 → x=3 - Подставляем значения y и z в первое уравнение и находим x:
x+2*2+2*3=8 → x+4+6=8 → x+10=8 → x=-2
Таким образом, мы рассмотрели в статье решение систем линейных уравнений. Решение более сложных уравнений без знания данного материала практически невозможно.
Повторить пройденный материал: решение простых уравнений и решение квадратных уравнений.
Для решения уравнений вам также могут понадобится темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.