Многогранники в геометрии: определения, формулы

Многогранники — это геометрические тела, поверхность которых состоит из многоугольников. Изучение многогранников и их формул — основа стереометрии. В этой статье мы подробно разберем основные виды: призму, параллелепипед (в т.ч. прямоугольный параллелепипед и куб), пирамиду и усеченную пирамиду. Для каждой фигуры даны четкие определения и главные формулы для вычисления площади поверхности и объема, а также понятные примеры расчетов, которые помогут разобраться в теме.

Призма

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а все остальные грани (боковые) — параллелограммы. Форма основания определяет название призмы: если в основании треугольник — это треугольная призма, если пятиугольник — пятиугольная призма.

Высота призмы – это перпендикуляр, опущенный из любого точки верхнего основания на плоскость нижнего основания. Проще говоря, это расстояние между основаниями.

➜ Прямая призма – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основаниям, поэтому боковые грани — прямоугольники.

➜ Правильная призма – частный случай прямой призмы, в основании которой лежит правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат и т.д.).

Формулы для призмы:

Объем призмы: V = S_о · h

Площадь полной поверхности: S = 2·S_о + S_бок

Где: V — объем призмы, S_о — площадь основания, h – высота призмы, S_бок — площадь всех боковых граней (сумма площадей прямоугольников или параллелограммов).

Пример расчета объема призмы: Дана треугольная прямая призма, в основании которой лежит треугольник с площадью (S_о) = 12 см². Высота призмы (h) = 7 см. Найдем объем: V = 12 · 7 = 84 см³.

Параллелепипед

Параллелепипед — это разновидность призмы, в основании которой лежит параллелограмм. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней, и каждая из них — параллелограмм.

Основные свойства параллелепипеда:

• Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
• Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• За основание параллелепипеда можно принять любую его грань.

Типы параллелепипеда

➜ Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого четыре боковые грани — прямоугольники. По сути, это «кирпичик», где все углы прямые, но основание может быть не прямоугольником, а просто параллелограммом.

➜ Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все шесть граней являются прямоугольниками. Это самая распространенная фигура, форму которой имеют комнаты, коробки, пачки масла.

➜ Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения (длина, ширина, высота) равны. Все грани куба — равные квадраты.

➜ Наклонный параллелепипед — его боковые ребра не перпендикулярны плоскости основания (он как бы «скошен»).

➜ Ромбоэдр — параллелепипед, все грани которого являются равными ромбами.

Формулы для параллелепипеда (общие):

Для любого параллелепипеда, как и для любой призмы, действуют базовые формулы:

Объем: V = S_о · h

Площадь поверхности: S = 2·S_о + S_бок

Где S_о — площадь основания (параллелограмма), h – высота параллелепипеда.

Формулы для прямоугольного параллелепипеда:

Для вычислений удобно использовать три измерения: длину (a), ширину (b) и высоту (c).

Объем: V = a · b · c

Площадь полной поверхности: S = 2·(a·b + a·c + b·c)

Диагональ: d = √(a² + b² + c²)

Пример расчета площади прямоугольного параллелепипеда: Найдем, сколько бумаги потребуется для оклейки коробки размером 5 см, 4 см и 3 см (длина, ширина, высота). Подставляем в формулу площади: S = 2·(5·4 + 5·3 + 4·3) = 2·(20 + 15 + 12) = 2·47 = 94 см².

Пример расчета диагонали: Для той же коробки длина диагонали d = √(5² + 4² + 3²) = √(25+16+9) = √50 ≈ 7.07 см.

Формулы для куба:

У куба все ребра равны (a). Формулы значительно упрощаются.

Объем куба: V = a³

Площадь поверхности куба: S = 6·a²

Диагональ куба: d = a√3

Пример расчета объема куба: Если аквариум имеет форму куба со стороной 30 см, то его объем составит V = 30³ = 27 000 см³ (или 27 литров).

Пирамида

Пирамида — многогранник, у которого одна грань (основание) — это произвольный многоугольник, а все остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие одну общую вершину.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

➜ Правильная пирамида – пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания. В такой пирамиде все боковые ребра равны, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой (обозначается обычно буквой a или l).

Формулы для правильной пирамиды:

Объем (для любой пирамиды): V = 1/3 · (S_о · h)

Площадь боковой поверхности (только для правильной): S_бок = ½ · P_о · a

Где: V — объем пирамиды, S_о — площадь основания, h — высота пирамиды, S_бок — площадь боковой поверхности, P_о — периметр основания, a — апофема.

Пример расчета объема пирамиды: Пирамида Хеопса имеет квадратное основание со стороной 230 м и высоту 146 м. Площадь основания S_о = 230·230 = 52 900 м². Объем V = 1/3 · (52 900 · 146) = 1/3 · 7 723 400 ≈ 2 574 467 м³.

Пример расчета боковой поверхности: Для правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 6 см и апофемой 5 см, периметр P_о = 4·6 = 24 см. Тогда S_бок = ½ · 24 · 5 = 60 см².

Формулы для правильного тетраэдра:

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники. Все ребра такой пирамиды равны (a).

Объем тетраэдра: V = (a³ · √2) / 12

Пример расчета объема тетраэдра: Если ребро тетраэдра равно 6 см, то его объем V = (6³ · √2) / 12 = (216 · 1.414) / 12 ≈ 305.4 / 12 ≈ 25.45 см³.

Усеченная пирамида

Усеченная пирамида — это часть пирамиды, заключенная между ее основанием и сечением, параллельным основанию. У нее два основания: верхнее (меньшее) и нижнее (большее). Боковые грани представляют собой трапеции.

Высота усеченной пирамиды — это расстояние между ее основаниями.

➜ Правильная усеченная пирамида получается из правильной пирамиды. Ее боковые грани — равные равнобокие трапеции. Высота этой трапеции называется апофемой усеченной пирамиды.

Формулы для правильной усеченной пирамиды:

Объем: V = 1/3 · h · (S₁ + S₂ + √(S₁·S₂))

Боковая поверхность: S_бок = ½ · (P₁ + P₂) · a

Где: S₁, S₂ — площади верхнего и нижнего оснований, h — высота усеченной пирамиды, P₁, P₂ — периметры верхнего и нижнего оснований, a — апофема.

Пример расчета объема усеченной пирамиды: Пусть площадь нижнего основания 50 см², верхнего — 20 см², а высота пирамиды 10 см. Найдем объем: V = 1/3 · 10 · (50 + 20 + √(50·20)) = (10/3) · (70 + √1000) = 3.33 · (70 + 31.62) = 3.33 · 101.62 ≈ 338.4 см³.

Для более глубокого изучения объемных фигур рекомендуем ознакомиться с разделом тела вращения, где собраны определения и формулы для цилиндра, конуса и шара.