Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая. Круг — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до центра O не превосходит радиуса R. Изучение свойств окружности и круга необходимо для решения задач по геометрии, физике, инженерии и многих других наук. В этой статье мы подробно разберем все основные свойства окружности и круга, их элементы, формулы и практические примеры.
Основные элементы окружности и круга
Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой её точкой. Обозначается r или R.
Хорда — отрезок, который соединяет какие-либо две точки окружности (AB).
Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности (d). Диаметр — наибольшая хорда окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.
 |
 |
Касательная — прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку. Общая точка прямой и окружности называется точкой касания. В этом случае расстояние от центра до прямой равно радиусу (d = R).
Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках. В этом случае расстояние от центра до прямой меньше радиуса (d < R).
 |
 |
Круговой сектор — пересечение круга с плоским углом, вершина которого находится в центре этого круга.
Дуга окружности — геометрическая фигура, состоящая из всех точек окружности, принадлежащих некоторому плоскому углу с вершиной в центре этой окружности. Каждому такому углу соответствует ровно одна дуга окружности, и каждой дуге окружности соответствует ровно один плоский угол с вершиной в центре окружности.
Круговой сегмент — пересечение круга с полуплоскостью, расстояние от границы которой до центра круга меньше радиуса этого круга. Если граница полуплоскости содержит центр круга, то соответствующий круговой сегмент называется полукругом.
Свойства хорды окружности
Одно из важнейших свойств окружности и круга связано с пересекающимися хордами: произведения отрезков пересекающихся хорд равны между собой. На рисунке: CA·CA₁ = CB·CB₁ = R² − d².
Свойства касательной к окружности
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Это одно из ключевых свойств окружности и круга, используемое при решении задач на построение и вычисление.
Свойства двух касательных из одной точки к окружности:
Пусть из точки A к окружности проведены две касательные AB₁ и AB₂ и O — центр окружности. Тогда:
- AB₁ = AB₂ (отрезки касательных равны);
- AO — биссектриса угла B₁AB₂;
- OA — биссектриса угла B₁OB₂.
Свойства секущих к окружности
Теорема о касательной и секущей. Если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной, соединяющего данную точку и точку касания, равен произведению отрезков секущей, соединяющих данную точку и точки ее пересечения с окружностью. То есть a² = b·c. Или: квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
На рисунке: CD² = d² − R²; CD² = CA·CA₁ = CB·CB₁.
Если из точки, взятой вне окружности, к окружности проведено несколько секущих, то произведения больших отрезков секущих на их внешние части равны между собой. На рисунке: CA·CA₁ = CB·CB₁.
Основные формулы для окружности и круга
Длина окружности:
Площадь круга:
или 
Обозначения:
π = 3,1415926535… — математическая константа (число пи),
r — радиус окружности,
d — диаметр окружности (d = 2r),
L — длина окружности,
S — площадь круга.
Площадь кругового сектора
Площадь кругового сектора равна:
где α — радианная мера центрального угла, отвечающего данному сектору, R — радиус круга.
Площадь кругового сегмента
Площадь кругового сегмента равна:
где α — радианная мера центрального угла, отвечающего данному сегменту, R — радиус круга.
Калькулятор для окружности и круга поможет вычислить все характеристики круга по одной из известных величин.
Примеры решения задач на свойства окружности и круга
Пример 1. Длина окружности равна 31,4 см. Найдите радиус окружности.
Решение: L = 2πR → R = L / (2π) = 31,4 / (2·3,14) = 31,4 / 6,28 = 5 см. Ответ: 5 см.
Пример 2. Две хорды окружности пересекаются. Отрезки одной хорды равны 4 см и 6 см. Один из отрезков другой хорды равен 3 см. Найдите второй отрезок.
Решение: По свойству пересекающихся хорд: 4·6 = 3·x → 24 = 3x → x = 8 см. Ответ: 8 см.
Пример 3. Из точки вне окружности проведена касательная длиной 12 см. Расстояние от точки до центра окружности равно 13 см. Найдите радиус окружности.
Решение: По теореме о касательной: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Образуется прямоугольный треугольник с катетом r (радиус), катетом 12 см и гипотенузой 13 см. По теореме Пифагора: r² + 12² = 13² → r² = 169 − 144 = 25 → r = 5 см. Ответ: 5 см.
Заключение
Мы подробно разобрали основные свойства окружности и круга: определения, элементы, свойства хорд, касательных и секущих, а также формулы для вычисления длины окружности, площади круга, сектора и сегмента. Знание этих свойств окружности и круга необходимо для успешного решения геометрических задач, подготовки к экзаменам и применения в практических областях — от инженерии до дизайна. Используйте наши формулы и примеры, чтобы закрепить материал.