Сложение и вычитание логарифмов с одинаковыми основаниями

Для логарифмов, как и для любых других чисел, применяются сложение и вычитание. Но ввиду того, что логарифмы — это не простые числа, для них применяются свои правила, которые называются основными свойствами.

Сложение и вычитание логарифмов с одинаковыми основаниями

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

log_a  x+ log _a y =  log _a (x·y)

log _a x — log_a  y = log _a (x:y)

• Сумма логарифмов равна логарифму произведения,
• Разность логарифмов равна логарифму частного.
• Это верно если: числа а, х, у — положительные; а ≠ 1.

Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

Теоремы логарифма произведения и логарифма частного

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов, то есть:

если числа а, x, у — положительны и а ≠ 1, то:
log_a(xy) = log_ax + log_ay

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, то есть:

Если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:
log_a(^x/_y) = log_ax — log_ay

Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x₁, x₂, . . . ,x_n  существует тождество:

log_a(x₁•x₂•x₃… x_k) = log_ax₁+ log_ax₂+ log_ax₃+ … + log_ax_k.

Из теоремы логарифма частного можно получить следующее свойство:

log_a¹/_b= — log_ab

log_a¹/_b = log_a1 — log_ab= — log_ab (так какlog_a1= 0)

Таким образом, логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Например:
Log₃9= — log₃ ¹/₉;         log₅¹/₁₂₅= -log₅125.

Для других преобразований логарифмов используйте их основные свойства.

Примеры сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями:

1. log₃15 = log₃(3 • 5) =log₃3 + log₃5 = 1 +log₃5.
2. log₁₀2 + log₁₀5 =log₁₀(2 • 5) = log₁₀l0 =1.
3. log₃²⁵/₁₆= log₃25 — log₃16.
4. log₂1000 — log₂125 = log₂¹⁰⁰⁰/₁₂₅= log₂8 = 3.

Онлайн калькуляторы для вычисления логарифмов

• Калькулятор логарифмов онлайн (для всех типов логарифмов)
• Калькулятор десятичного логарифма
• Калькулятор натурального логарифма

Также по теме:

• Понятие логарифма
• Основные свойства логарифмов
• Сложение и вычитание логарифмов с разными основаниями