Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение — это уравнение вида ax³ + bx² + cx +d = 0, где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, х — переменная. Чтобы уравнение считалось кубическим, достаточно, чтобы в нем присутствовал только коэффициент a для переменной x³ (то есть других членов может вообще не быть).

Число х называется корнем кубического уравнения, если при его подстановке уравнение обращается в верное равенство.

В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3. Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности).

Дискриминант кубического уравнения

Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения. Формула дискриминанта:

Возможны только 3 следующих случая:

• D > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня (при углубленном изучении — три различных вещественных корня).
• D < 0 — уравнение имеет лишь 1 корень (при углубленном изучении — 1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
• D = 0 — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2-мя или 3-мя совпадающими корнями (при углубленном изучении — все корни вещественные).

Дискриминант находится по сложной формуле, поэтому на практике решение кубических уравнений часто сводится к разложению на множители. Далее рассмотрим универсальные методы решения кубических уравнений.

Как решать кубические уравнения

Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод, то можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения. 
Если Вы сомневаетесь в правильности решения, проверьте ответы в калькуляторе кубического уравнения.

При этом все кубические уравнения условно можно разделить на два вида: без свободного члена и со свободным членом. Рассмотрим методы решения каждого из них.

1. Решение кубических уравнений без свободного члена

В кубическом уравнении вида ax³ + bx² + cx +d = 0 свободным членом является коэффициент d.
Тогда уравнение пример вид:

• Так как в уравнении нет свободного члена, каждый член уравнения включает переменную x. Это означает, что переменную x можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение. Таким образом, уравнение запишется так: x×(ax²+bx+c)=0.
• Один из корней уравнения будет равен нулю.
• Для нахождения других корней нужно решить квадратное уравнение или разложить полученной выражение на множители. Для решения квадратного уравнения также можно воспользоваться калькулятором квадратного уравнения.

Решение: 
Вынесем x за скобки и получим уравнение вида:  x( 2x²+5x-14)=0
Один из корней равен нулю: x₁=0.
Далее решим квадратное уравнение или разложим его на множители: x(x+7)(x-2)=0
Получаем корни  уравнения: x₁=0, x₂=-7, x₃=2.

2. Решение кубических уравнений, если есть свободный член

Кубическое уравнение, в котором есть свободный член, имеет следующий вид:

где d — свободный член, который не равен нулю.
Здесь вынести «х» за скобки не получится.

В некоторых случаях решить кубическое уравнение можно, разложив на множители левую часть.

Решение:
Сгруппируем слагаемые в левой части:  5x³-x²-(20x-4)=0
Разложим ее на множители: x²(5x-1)-4(5x-1)=0
Получаем: (x²-4)(5x-1), для которого подходят корни x₁=2, x₂=-2, x₃=1/5.

Кубические уравнения вида ax³ + bx² + cx +d = 0, в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется. Для этого можно использовать следующие утверждения:

• Если суммаa+b+c+d=0 , то корнем уравнения является число 1 .
• Если b+d =a+c , то корнем уравнения является число − 1 .
• Пусть a ,b ,c ,d – целые числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень p/q , то для него будет выполнено: d делится нацело на p ; a делится нацело на p .

Решение: Сумма коэффициентов равна 7+3−1−9=0 , значит x₁=1 является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.
4 — 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1 не является корнем многочлена;
-4 — 19 — 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена;
4 ∙ 8 — 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена.
Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на (x — 2).
Теперь можем также сгруппировать слагаемые и разложить на множители:
4x³ — 8x² — 11x²+ 22x — 3x + 6 = 0
Получаем: 4x²(x-2)-11x(x-2)-3(x-2) = (x-2)(4x²-11x-3).
Далее решим квадратное уравнение: 4x² — 11x — 3 = 0
D = b² — 4ac = (-11)² — 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня: x = 3; -0.25.
Таким образом, кубическое уравнение имеет три корня: x₁=2; x₂=3; x₃=0.25.