Подобные треугольники

Подобные треугольники — это треугольники, у которых  отношения всех их соответствующих сторон равны. Отношение k соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия этих треугольников.
На рисунке:  △ABC∽△A₁B₁C₁ ⇔ AB/A₁B₁=AC/A₁C₁=BC/B₁C₁; k=AB/A₁B₁=AC/A₁C₁=BC/B₁C₁.

Свойство углов подобных треугольников

Если треугольники подобны, то все их соответствующие углы равны.
На рисунке: △ABC∽△A₁B₁C₁ ⇒ ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁, ∠C=∠C₁.

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников:
Если отношения двух сторон треугольников и равны углы между этими сторонами, то такие треугольники подобны. На рисунке: Второй признак подобия треугольников:
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. На рисунке:  Третий признак подобия треугольников:
Если отношения всех соответствующих сторон треугольников равны, то такие треугольники подобны. На рисунке: 

Отношения для подобных треугольников

• Отношение любых двух соответствующих линейных элементов (стороны, медианы, радиус, периметр) подобных треугольников равно коэффициенту подобия этих треугольников.
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Параллельные прямые и подобие треугольников

Если стороны двух треугольников лежат на соответственно параллельных или совпадающих прямых, то такие треугольники подобны. В частности, параллельные прямые отсекают от угла, либо вертикальных углов, подобные треугольники. На рисунке: AB||A₁B₁, AC||A₁C₁, BC||B₁C₁. 

При пересечении диагоналей трапеции, а также продолжений её боковых сторон, образуются подобные треугольники, прилежащие к основаниям трапеции. Коэффициент подобия в обоих случаях равен отношению оснований трапеции. На рисунке: k=AD/BC; k=AD/BC. 
При пересечении двух прямых с окружностью образуются подобные треугольники. На рисунке: k=AB/B₁A₁=AC/B₁C*BC/A₁C.

Касательная к окружности и подобные треугольники.
Пусть к окружности проведена касательная CB и секущая CA, пересекающая окружность во второй раз в точке A1. Тогда △ABC∽△BA₁C. На рисунке: △ABC∽△BCA₁, k=AB/BA₁=AC/BC * BC/A₁C.