Геометрия: свойства углов

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла).
На рисунке: точка A — вершина угла, лучи AB и AC— стороны угла. Обозначение: BAC (или ∠A — если понятно, о каком угле идет речь).

Виды плоских углов, в зависимости от меры:

Виды углов: острый (меньше 90°), прямой (равен 90°) и тупой (больше 90°, но меньше 180°). Также выделяют развернутый угол (равен 180°).

Нулевой угол (0°); стороны нулевого угла совпадают, его внутренняя область — пустое множество.
Острый угол (от 0° до 90°, не включая граничные значения).
Прямой угол (90°); стороны прямого угла перпендикулярны друг другу.
Тупой угол (от 90° до 180°, не включая граничные значения).
Косой угол (любой, не равный 0°, 90°, 180° или 270°).
Развёрнутый угол (180°); сторонами развёрнутого угла являются две полупрямые одной прямой, то есть два луча, направленных в противоположные стороны.
Невыпуклый угол (от 0° до 180° включительно).
Выпуклый угол (от 180° до 360°, не включая граничные значения).
Полный угол (360°) .

На рисунке последовательно изображены: острый угол, равный 60°; прямой угол, равный 90°; тупой угол, равный 120°; развернутый угол, равный 180°; угол, равный 270°; полный угол, равный 360°.

Биссектриса угла

Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. На рисунке луч AK — биссектриса угла BAC и ∠BAK = ∠CAK.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон: xy=ab.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, противоположного основанию, является медианой и высотой.
Теорема Штейнера-Лемуса. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Дополнительные углы

Дополнительные углы — это два плоских угла, которые имеют общую вершину и одну общую сторону, а оставшиеся стороны составляют прямой угол. Сумма дополнительных углов равна 90∘.

Смежные углы

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие дополняют друг друга до прямой. Сумма смежных углов равна 180°. Если смежные углы равны, то каждый из них прямой.

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы равны.

Измерение углов:

Углы измеряются в градусах. 1° — это 1/180 часть развернутого угла.
Углы измеряют при помощи транспортира.
1/60 часть одного градуса называется минутой и обозначается 1′; 1/60 часть минуты называется секундой и обозначается 1″.