Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу — это задачи, в которых несколько участников выполняют одну и ту же работу вместе, и нужно найти время, за которое они справятся с задачей. В таких задачах важно учитывать, что каждый участник вносит свой вклад, и их совместная работа ускоряет процесс.

Чтобы правильно решать задачи на совместную работу, нужно понять несколько ключевых понятий:

1. Производительность — это то, какую часть работы выполняет один участник за единицу времени (например, за час или минуту). Если один участник может выполнить всю работу за 4 часа, то его производительность равна 1/4​ работы в час.
2. Общая производительность — это сумма производительностей всех участников. Когда несколько человек работают вместе, их усилия складываются, и общая работа выполняется быстрее.
3. Общее время работы — это время, которое потребуется всем участникам, чтобы выполнить работу вместе. Это время можно найти, разделив 1 (всю работу) на общую производительность.

Рассмотрим задачи на совместную работу:

Пример 1

Два друга, Маша и Коля, решили покрасить забор. Маша может покрасить весь забор за 6 часов, а Коля — за 3 часа. Сколько времени потребуется, чтобы они покрасили забор вместе?

Решение:

1. Определим производительность каждого:
   • Маша: за 1 час она красит 1/6​ забора.
   • Коля: за 1 час он красит 1/3​ забора.
2. Сложим их производительности, чтобы найти общую производительность:
   • Общая производительность: 1/6+1/3. Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю:

Значит, вместе они красят половину забора за 1 час.

1. Найдём общее время работы:
   • Если за 1 час они красят половину забора, то весь забор они покрасят за 2 часа.

Ответ: Маша и Коля покрасят забор вместе за 2 часа.

Пример 2

Две бригады работают над строительством дома. Первая бригада может построить дом за 12 дней, а вторая — за 8 дней. Сколько дней потребуется, чтобы они построили дом, работая вместе?

Решение:

1. Определим производительность каждой бригады:
   • Первая бригада: за 1 день они строят 1/12​ дома.
   • Вторая бригада: за 1 день они строят 1/8​ дома.
2. Сложим их производительности:
   • Общая производительность: 1/12+1/8​. Найдём общий знаменатель:

Это означает, что за 1 день обе бригады вместе строят 5/24​ дома.

1. Найдём общее время работы:
   • Чтобы построить весь дом, потребуется:

Ответ: Обе бригады вместе построят дом за 4,8 дня.

Заключение

Задачи на совместную работу учат нас находить баланс и понимать, как несколько человек, работая вместе, могут быстрее справиться с задачей. Важно помнить, что производительность каждого участника складывается, и для решения таких задач нужно просто правильно сложить дроби и найти общее время работы. Попробуйте решить несколько задач сами, чтобы лучше разобраться в этом!

Задачи по математике на совместную работу для самостоятельного решения:

Задача 1: Покраска забора
Два маляра, Андрей и Борис, работают вместе над покраской забора. Андрей может покрасить забор за 6 часов, а Борис — за 4 часа. Сколько времени потребуется, чтобы они покрасили забор вместе?

Задача 2: Наполнение бассейна
Две трубы могут наполнить бассейн вместе за 3 часа. Первая труба может наполнить его за 5 часов. Сколько времени потребуется, чтобы бассейн наполнился только через вторую трубу?

Задача 3: Работа на поле
Два фермера, Иван и Николай, вспахивают поле. Иван может вспахать всё поле за 8 часов, а Николай — за 12 часов. Сколько времени потребуется, чтобы они вспахали поле вместе?

Задача 4: Изготовление деталей
Два рабочих, Сергей и Павел, изготавливают детали. Сергей может изготовить одну деталь за 10 минут, а Павел — за 15 минут. Сколько времени потребуется, чтобы они вместе изготовили 12 деталей?

Задача 5: Сбор урожая
Два работника собирают яблоки в саду. Первый работник может собрать весь урожай за 9 часов, а второй — за 7 часов. За сколько часов они соберут урожай, работая вместе?

Решение к задачам для самостоятельного решения

Решение для задачи 1:

1. Найдем, какую часть забора красит каждый маляр за 1 час:
   • Андрей: 1/6​ забора в час.
   • Борис: 1/4​ забора в час.
2. Сложим их скорости: 1/6+1/4=5/12 забора в час.
3. Чтобы покрасить весь забор, нужно

Ответ: Андрей и Борис покрасят забор вместе за 2,4 часа.

Решение для задачи 2:

1. Пусть x — время, за которое вторая труба наполняет бассейн.
2. Скорость первой трубы: 1/5​ бассейна в час.
3. Совместная скорость: 1/3​ бассейна в час.
4. Совместная скорость — это сумма скоростей обеих труб: 1/5+1/х=1/3.
5. Решим уравнение:
6. x=15/2=7,5 часа.

Ответ: Вторая труба может наполнить бассейн за 7,5 часа.

Решение к задаче 3:

1. Найдем, какую часть поля вспахивает каждый фермер за 1 час:
   • Иван: 1/8​ поля в час.
   • Николай: 1/12​ поля в час.
2. Сложим их скорости: 1/8+1/12=5/24​ поля в час.
3. Чтобы вспахать всё поле, нужно

Ответ: Иван и Николай вспашут поле вместе за 4,8 часа.

Решение к задаче 4:

1. Найдем, сколько деталей они изготавливают за 1 минуту:
   • Сергей: 1/10​ детали в минуту.
   • Павел: 1/15​ детали в минуту.
2. Сложим их скорости: 1/10+1/15=5/30=1/6​ детали в минуту.
3. Чтобы изготовить 12 деталей, нужно

Ответ: Сергей и Павел вместе изготовят 12 деталей за 72 минуты.

Решение к задаче 5:

1. Найдем, какую часть урожая собирает каждый работник за 1 час:
   • Первый работник: 11/9​ урожая в час.
   • Второй работник: 1/7 урожая в час.
2. Сложим их скорости: 1/9+1/7=16/63 урожая в час.
3. Чтобы собрать весь урожай, нужно

Ответ: Оба работника вместе соберут урожай за примерно 3,94 часа.