Задачи на совместную работу — это один из самых популярных типов задач в школьной математике. Они встречаются начиная с 5-го класса и до самого выпускного экзамена. И хотя на первый взгляд они могут показаться сложными, на самом деле у них есть четкий алгоритм решения. В этой статье мы разберем, как подходить к таким задачам, какие формулы использовать и как избежать типичных ошибок.
Что такое задачи на совместную работу
Представьте: двое рабочих красят забор. Один справится за 6 часов, другой — за 4. Если они будут работать вместе, сколько времени уйдет? Это и есть задачи на совместную работу — когда несколько участников выполняют одну и ту же работу одновременно, и нужно найти время их совместной работы.
Ключевая идея: чем больше людей (или механизмов) работает, тем быстрее выполняется задача. Но скорость у каждого своя, и нужно уметь складывать их усилия.
Главные понятия: производительность и время
Чтобы решать задачи на совместную работу, нужно понимать три ключевых понятия:
Производительность — это то, какую часть работы выполняет один участник за единицу времени (час, минуту, день). Если рабочий делает всю работу за 4 часа, его производительность = 1/4 работы в час.
Общая производительность — это сумма производительностей всех участников. Когда несколько человек работают вместе, их усилия складываются.
Общее время работы — это время, за которое все участники вместе выполнят всю работу. Его можно найти по формуле: Время = 1 ÷ Общая производительность (если вся работа принята за 1).
Эти три понятия — основа для решения любых задач на совместную работу.
Пошаговый алгоритм решения
Вот универсальный алгоритм, который работает для всех задач на совместную работу:
Шаг 1. Принимаем всю работу за 1. Это самый удобный способ — мы не привязываемся к конкретным единицам (метры, литры, детали).
Шаг 2. Находим производительность каждого участника. Если участник выполняет всю работу за t часов, его производительность = 1/t.
Шаг 3. Складываем производительности. Получаем общую производительность.
Шаг 4. Находим общее время. Делим 1 на общую производительность.
Этот алгоритм работает для любых задач — с двумя, тремя и более участниками.
Разбор примеров с подробными пояснениями
Пример 1: Двое красят забор
Условие: Маша может покрасить забор за 6 часов, а Коля — за 3 часа. Сколько времени потребуется, чтобы они покрасили забор вместе?
Решение:
1. Вся работа = 1 (один забор).
2. Производительность Маши: 1/6 забора в час.
3. Производительность Коли: 1/3 забора в час.
4. Общая производительность: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 забора в час.
5. Время = 1 ÷ (1/2) = 2 часа.
Ответ: 2 часа.
Пояснение: вместе они красят ползабора в час, значит, весь забор — за 2 часа.
Пример 2: Две бригады строят дом
Условие: Первая бригада строит дом за 12 дней, вторая — за 8 дней. Сколько дней потребуется при совместной работе?
Решение:
1. Вся работа = 1 (один дом).
2. Производительность первой бригады: 1/12 дома в день.
3. Производительность второй бригады: 1/8 дома в день.
4. Общая производительность: 1/12 + 1/8 = 2/24 + 3/24 = 5/24 дома в день.
5. Время = 1 ÷ (5/24) = 24/5 = 4,8 дня.
Ответ: 4,8 дня (или 4 дня и 19,2 часа).
Пример 3: Две трубы наполняют бассейн
Условие: Первая труба наполняет бассейн за 5 часов, вторая — за 3 часа. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы одновременно?
Решение:
1. Вся работа = 1 (один бассейн).
2. Производительность первой трубы: 1/5 бассейна в час.
3. Производительность второй трубы: 1/3 бассейна в час.
4. Общая производительность: 1/5 + 1/3 = 3/15 + 5/15 = 8/15 бассейна в час.
5. Время = 1 ÷ (8/15) = 15/8 = 1,875 часа = 1 час 52,5 минуты.
Ответ: 1,875 часа (или 1 час 52,5 минуты).
Более сложные задачи на совместную работу
Иногда в задачах нужно найти не общее время, а производительность одного из участников или время, за которое он выполнит работу самостоятельно.
Пример 4: Находим неизвестное время
Условие: Две трубы вместе наполняют бассейн за 3 часа. Первая труба наполняет бассейн за 5 часов. За сколько часов наполнит бассейн только вторая труба?
Решение:
1. Пусть x — время наполнения бассейна второй трубой.
2. Производительность первой трубы: 1/5.
3. Производительность второй трубы: 1/x.
4. Общая производительность (известна из условия): 1/3.
5. Составляем уравнение: 1/5 + 1/x = 1/3.
6. Решаем: 1/x = 1/3 − 1/5 = 5/15 − 3/15 = 2/15.
7. x = 15/2 = 7,5 часа.
Ответ: 7,5 часа.
Пример 5: Три участника
Условие: Три рабочих могут выполнить заказ: первый — за 6 часов, второй — за 8 часов, третий — за 12 часов. Сколько времени потребуется, если они будут работать вместе?
Решение:
1. Производительности: 1/6, 1/8, 1/12.
2. Общая производительность: 1/6 + 1/8 + 1/12 = 4/24 + 3/24 + 2/24 = 9/24 = 3/8 заказа в час.
3. Время = 1 ÷ (3/8) = 8/3 ≈ 2,67 часа.
Ответ: 2 часа 40 минут.
Задачи на совместную работу для самостоятельного решения
Теперь попробуйте решить задачи самостоятельно. Ответы и решения — ниже.
Задача 1. Покраска забора
Андрей может покрасить забор за 6 часов, а Борис — за 4 часа. Сколько времени потребуется, чтобы они покрасили забор вместе?
Задача 2. Наполнение бассейна
Две трубы могут наполнить бассейн вместе за 3 часа. Первая труба может наполнить его за 5 часов. Сколько времени потребуется, чтобы бассейн наполнился только через вторую трубу?
Задача 3. Вспашка поля
Иван может вспахать поле за 8 часов, а Николай — за 12 часов. Сколько времени потребуется, чтобы они вспахали поле вместе?
Задача 4. Изготовление деталей
Сергей делает одну деталь за 10 минут, а Павел — за 15 минут. Сколько времени потребуется, чтобы они вместе изготовили 12 деталей?
Задача 5. Сбор урожая
Первый работник может собрать весь урожай за 9 часов, а второй — за 7 часов. За сколько часов они соберут урожай, работая вместе?
Ответы и решения к задачам
Решение задачи 1
1. Производительность Андрея: 1/6 забора в час.
2. Производительность Бориса: 1/4 забора в час.
3. Общая производительность: 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 забора в час.
4. Время: 1 ÷ (5/12) = 12/5 = 2,4 часа.
Ответ: 2,4 часа (или 2 часа 24 минуты).
Решение задачи 2
1. Пусть x — время наполнения второй трубой.
2. Уравнение: 1/5 + 1/x = 1/3.
3. 1/x = 1/3 − 1/5 = 5/15 − 3/15 = 2/15.
4. x = 15/2 = 7,5 часа.
Ответ: 7,5 часа.
Решение задачи 3
1. Производительность Ивана: 1/8 поля в час.
2. Производительность Николая: 1/12 поля в час.
3. Общая производительность: 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24 поля в час.
4. Время: 1 ÷ (5/24) = 24/5 = 4,8 часа.
Ответ: 4,8 часа.
Решение задачи 4
1. Производительность Сергея: 1/10 детали в минуту.
2. Производительность Павла: 1/15 детали в минуту.
3. Общая производительность: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 детали в минуту.
4. На 12 деталей нужно: 12 ÷ (1/6) = 12 × 6 = 72 минуты.
Ответ: 72 минуты (или 1 час 12 минут).
Решение задачи 5
1. Производительность первого: 1/9 урожая в час.
2. Производительность второго: 1/7 урожая в час.
3. Общая производительность: 1/9 + 1/7 = 7/63 + 9/63 = 16/63 урожая в час.
4. Время: 1 ÷ (16/63) = 63/16 = 3,9375 часа.
Ответ: 3,9375 часа (примерно 3 часа 56 минут).
Типичные ошибки при решении задач на совместную работу
➤ Ошибка 1: Складывают время, а не производительность.
Неправильно: 6 + 4 = 10 часов. Правильно: 1/6 + 1/4 = 5/12 → время = 12/5 = 2,4 часа.
➤ Ошибка 2: Неправильное сложение дробей.
Всегда приводите дроби к общему знаменателю перед сложением.
➤ Ошибка 3: Путают, что принимают за 1.
Всю работу всегда принимаем за 1 (один забор, один дом, один бассейн).
Почему важно уметь решать такие задачи
Задачи на совместную работу развивают важные навыки:
➤ Понимание, как складываются усилия нескольких участников.
➤ Умение работать с дробями и решать уравнения.
➤ Логическое мышление и умение находить неизвестное.
Кроме того, эти задачи часто встречаются на экзаменах: в ОГЭ, ЕГЭ и вступительных испытаниях. Освоив алгоритм один раз, вы сможете решать их быстро и без ошибок.
Итоги: главное о задачах на совместную работу
Задачи на совместную работу решаются по единому алгоритму:
1. Вся работа = 1.
2. Производительность участника = 1 / время его работы.
3. Общая производительность = сумма производительностей.
4. Общее время = 1 / общая производительность.
Если в задаче нужно найти время одного из участников — составляем уравнение: сумма производительностей = общая производительность.
Тренируйтесь на разных примерах, и очень скоро вы будете щелкать такие задачи как орешки!