Признаки делимости чисел

В статье рассмотрим признаки делимости на:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
15, 25, 100, 1000.

Признак делимости на 1

Каждое целое число делится на 1.

Признак делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.
Примеры:
4, 18, 32, 166, 488– последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
5, 11, 37, 173, 229 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма всех его цифр, также, делится на три.
Примеры:
18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=32/3).

Признак делимости на 4

Число делится на 4, если две последние его цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.
Примеры:
100 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями;
число 7524 делятся на 4, так как две последние цифры (24) делятся на 4.
5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.

Признак делимости на 5

На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5.
Примеры:
10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
Примеры:
486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.

Признак делимости на 7

Признак 1: Число делится на 7, если сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.
Примеры:
91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.

Признак 2: Число делится на 7, если разность числа его десятков и удвоенной цифры в разряде единиц делится на 7.
Пример:
343 – делится на 7, так как 34 − (2 · 3) = 28, и 28 делится на 7.

Признак 3: Число делится на 7, если разность сумм четных цифр числа и нечетных цифр чисел делится на 7.
Пример: число 469 делится на 7, так как
1) сумма цифр на нечетных позициях 4+9=13.
2) сумма чисел на четных позициях 6.
3) разность получившихся сумм: 13-6=7, а это число делится на 7. Поэтому все число 469 делится на 7.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.
Примеры:
2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, когда у которых сумма цифр делится на 9.
Примеры:
324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Примеры:
10, 110, 1500, 12760 – делятся 10 числа, так как последняя цифра – 0.

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах числа, делится на 11.
Примеры:
737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.

Признак делимости на 15

Число делится на 15, если делится одновременно на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и сумма его цифр делилась на 3.
Пример:
195 – делится на 15, так как оно оканчивается на 5 и сумма его цифр делится на 3 (1+9+5=15, 15:3=5).

Признак делимости на 25

Число делится на 25, когда две последние цифры этого числа представляют собой число, делящееся на 25.
Примеры:
875 – делится на 25, т.к. 75:25.

Признак делимости на 100, 1000 и т.д.

На 100 делятся только те числа, две последние цифры которых нули.
На 1000 делятся нацело только те числа, три последние цифры нули.
и т.д.