В этой статье мы подробно и простыми словами разберем признаки делимости на самые популярные числа. Зачем это знать? Чтобы быстро, без калькулятора, понять, можно ли разделить одно число на другое. Это здорово помогает в математике, при сокращении дробей и в решении сложных примеров. Мы разберем все правила от простых к сложным, с наглядными примерами.
В статье рассмотрим признаки делимости на:
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
- 15, 25, 100, 1000.
Признаки делимости на 1
Это самое простое правило. На единицу делится любое целое число без исключений. Это базовое свойство, которое работает всегда: 5, 123 или 10 000 — результат деления будет тем же числом.
Признаки делимости на 2
Это правило знают даже младшие школьники. Число делится на 2 (является четным), если его последняя цифра четная. То есть если число заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Примеры:
4, 18, 32, 166, 488– последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
5, 11, 37, 173, 229 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными (1, 3, 5, 7, 9).
Признаки делимости на 3
Тут нужно немного посчитать. Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3. Это один из самых полезных признаков делимости на небольшие числа.
Примеры:
18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=32/3).
Признаки делимости на 4
Число делится на 4, если две последние его цифры — нули или образуют число, которое делится на 4. Обратите внимание: смотрим только на концовку, а не на всё число целиком.
Примеры:
100 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями;
число 7524 делятся на 4, так как две последние цифры (24) делятся на 4.
5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.
Признаки делимости на 5
Еще одно простое правило. На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5.
Примеры:
10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.
Признаки делимости на 6
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. То есть это число должно быть четным, и сумма его цифр должна делиться на 3.
Примеры:
486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2 (сумма цифр 7+1+2=10 не делится на 3).
Признаки делимости на 7
Семерка — самое сложное число для проверки. Но есть несколько рабочих способов. Самый популярный признак делимости на 7 (Признак 1): Нужно взять последнюю цифру, удвоить её и вычесть из числа без последней цифры. Если результат делится на 7, то и всё число делится.
Признак 1 (классический): Число делится на 7, если утроенное число его десятков сложенное с цифрой единиц делится на 7.
Примеры:
91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
Признак 2 (более простой для запоминания): Число делится на 7, если разность числа его десятков и удвоенной цифры в разряде единиц делится на 7.
Пример:
343 – делится на 7, так как 34 − (2 · 3) = 28, и 28 делится на 7.
Признак 3 (для любителей сложных схем): Число делится на 7, если разность сумм четных цифр числа и нечетных цифр чисел делится на 7.
Пример: число 469 делится на 7, так как
1) сумма цифр на нечетных позициях 4+9=13.
2) сумма чисел на четных позициях 6.
3) разность получившихся сумм: 13-6=7, а это число делится на 7. Поэтому все число 469 делится на 7.
Признаки делимости на 8
Правило похоже на признак для четверки, но смотрим на три последние цифры. Число делится на 8, если три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.
Примеры:
2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8 (336:8=42).
12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.
Признаки делимости на 9
Правило похоже на признак для тройки. Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9.
Примеры:
324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
963 – делится на 9 (9+6+3=18, 18:9=2).
Признаки делимости на 10
Число делится на 10 тогда, когда оно оканчивается на ноль. Это основа десятичной системы счисления.
Примеры:
10, 110, 1500, 12760 – делятся 10 числа, так как последняя цифра – 0.
Признак делимости на 11
Этот признак делимости на 11 чуть сложнее, но его стоит запомнить. Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах числа, делится на 11 (или равна нулю).
Примеры:
737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.
Признаки делимости на 15
Так как 15 = 5 * 3, то и правило будет комбинированным. Число делится на 15, если оно делится одновременно на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и сумма его цифр делилась на 3.
Пример:
195 – делится на 15, так как оно оканчивается на 5 и сумма его цифр делится на 3 (1+9+5=15, 15:3=5).
330 – делится на 15 (оканчивается на 0, сумма цифр 3+3+0=6 делится на 3).
Признаки делимости на 25
Число делится на 25, когда две последние цифры этого числа представляют собой число, делящееся на 25. То есть это могут быть числа: 00, 25, 50, 75.
Примеры:
875 – делится на 25, т.к. 75:25.
3400 – делится на 25, т.к. две последние цифры 00.
Признаки делимости на 100, 1000 и т.д.
Эти признаки нужны для работы с круглыми числами и процентами. На 100 делятся только те числа, две последние цифры которых нули. (1500, 64300).
На 1000 делятся нацело только те числа, три последние цифры нули. (7000, 832000).
и т.д. Чем больше нулей в делителе, тем больше нулей должно быть в конце числа.
Смотрите также:
- Калькулятор НОД (наибольший общий делитель) — полезно для проверки и поиска общих делителей.
- Калькулятор НОК (наименьшее общее кратное) — поможет найти общий знаменатель.