Квадратные уравнения и их корни

Квадратные уравнения — это уравнения вида:

ax²+bx+c=0

где:

• a, b, c — коэффициенты (при этом a≠0a ),
• x — переменная, которую нужно найти.

Методы решения квадратных уравнений:

1. Формула корней квадратного уравнения: Для решения квадратных уравнений используется формула для нахождения корней:

Где: b2−4ac — дискриминант (D),

2. Виды решений в зависимости от дискриминанта:

D>0: два действительных корня x₁ и x₂​, которые находятся по формуле.
D=0: один (двукратный) действительный кореньx₁=x₂=−b/2a.
D<0: действительных корней нет (при более углубленном изучении уравнение имеет два комплексных корня).

Пример 1: два различных корня

Рассмотрим уравнение: 2x²+3x−2=0

1. Определим коэффициенты: a=2, b=3, c=−2.
2. Находим дискриминант: D=b²−4ac=3²−4⋅2⋅(−2)=9+16=25
3. D>0, значит уравнение имеет два различных действительных корня.

Находим корни по формуле:

Решение: x₁=0.5, x₂=−2.

Пример 2: один корень

Рассмотрим уравнение: x²−4x+4=0

1. Определим коэффициенты: a=1, b=−4, $4$.
2. Находим дискриминант: D=(−4)²−4⋅1⋅4=16−16=
3. D=0, значит уравнение имеет один (двукратный) корень.
4. Находим корень: x₁=x₂=−b/2a=−(−4)/(2⋅1)=4/2=2

Решение: x=2.

Пример 3: комплексные корни

Рассмотрим уравнение: x²+x+1=0

1. Определим коэффициенты: a=1, b=1, c=1.
2. Находим дискриминант>: D=1²−4⋅1⋅1=1−4=−3
3. D<0, значит, уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексных корня.

Находим комплексные корни:

Теорема Виета

Теорема Виета помогает найти сумму и произведение корней уравнения:

Для уравнения ax²+bx+c=0, если корни x₁​ и x₂​, то:

Эти соотношения часто используются для проверки решений или для нахождения корней без полного решения уравнения.

Для проверки решения квадратных уравнений используйте онлайн калькулятор.

Для того, чтобы потренироваться решать квадратные уравнения и закрепить навыки счета подобных примеров, скачайте программу «Уравнения квадратные«.