Квадратные уравнения — это уравнения вида:
ax2+bx+c=0
где:
- a, b, c — коэффициенты (при этом a≠0a ),
- x — переменная, которую нужно найти.
Методы решения квадратных уравнений:
-
Формула корней квадратного уравнения: Для решения квадратных уравнений используется формула для нахождения корней:
Где: b2−4ac — дискриминант (D),
-
Виды решений в зависимости от дискриминанта:
- D>0: два действительных корня x1 и x2, которые находятся по формуле.
- D=0: один (двукратный) действительный кореньx1=x2=−b/2a.
- D<0: действительных корней нет (при более углубленном изучении уравнение имеет два комплексных корня).
Пример 1: два различных корня
Рассмотрим уравнение: 2x2+3x−2=0
- Определим коэффициенты: a=2, b=3, c=−2.
- Находим дискриминант: D=b2−4ac=32−4⋅2⋅(−2)=9+16=25
D>0, значит уравнение имеет два различных действительных корня. - Находим корни по формуле:
Решение: x1=0.5, x2=−2.
Пример 2: один корень
Рассмотрим уравнение: x2−4x+4=0
- Определим коэффициенты: a=1, b=−4, c=.
- Находим дискриминант: D=(−4)2−4⋅1⋅4=16−16=0
- D=0, значит уравнение имеет один (двукратный) корень.
- Находим корень: x1=x2=−b/2a=−(−4)/(2⋅1)=4/2=2
Решение: x=2.
Пример 3: комплексные корни
Рассмотрим уравнение: x2+x+1=0
- Определим коэффициенты: a=1, b=1, c=1.
- Находим дискриминант>: D=12−4⋅1⋅1=1−4=−3
D<0, значит, уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексных корня. - Находим комплексные корни:
Теорема Виета
Теорема Виета помогает найти сумму и произведение корней уравнения:
Для уравнения ax2+bx+c=0, если корни x и x, то:
Эти соотношения часто используются для проверки решений или для нахождения корней без полного решения уравнения.
Для проверки решения квадратных уравнений используйте онлайн калькулятор.
Для того, чтобы потренироваться решать квадратные уравнения и закрепить навыки счета подобных примеров, скачайте программу «Уравнения квадратные«.