Квадратные уравнения и их корни

Квадратные уравнения — это уравнения вида:

ax2+bx+c=0

где:

  • a, b, c — коэффициенты (при этом a≠0a ),
  • x — переменная, которую нужно найти.

Методы решения квадратных уравнений:

  1. Формула корней квадратного уравнения: Для решения квадратных уравнений используется формула для нахождения корней:

    корни квадратного уравнения

    Где: b2−4ac — дискриминант (D),

  2. Виды решений в зависимости от дискриминанта:

    • D>0: два действительных корня x1 и x2, которые находятся по формуле.
    • D=0: один (двукратный) действительный кореньx1=x2=−b/2a.
    • D<0: действительных корней нет (при более углубленном изучении уравнение имеет два комплексных корня).

Пример 1: два различных корня

Рассмотрим уравнение: 2x2+3x−2=0

  1. Определим коэффициенты: a=2, b=3, c=−2.
  2. Находим дискриминант: D=b2−4ac=32−4⋅2⋅(−2)=9+16=25
    D>0, значит уравнение имеет два различных действительных корня.
  3. Находим корни по формуле:

Решение: x1=0.5, x2=−2.


Пример 2: один корень

Рассмотрим уравнение: x2−4x+4=0

  1. Определим коэффициенты: a=1, b=−4, c=.
  2. Находим дискриминант: D=(−4)2−4⋅1⋅4=16−16=0
  3. D=0, значит уравнение имеет один (двукратный) корень.
  4. Находим корень: x1=x2=−b/2a=−(−4)/(2⋅1)=4/2=2

Решение: x=2.


Пример 3: комплексные корни

Рассмотрим уравнение: x2+x+1=0

  1. Определим коэффициенты: a=1, b=1, c=1.
  2. Находим дискриминант>: D=12−4⋅1⋅1=1−4=−3
    D<0, значит, уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексных корня.
  3. Находим комплексные корни:

комплексные корни квадратного уравнения

комплексные корни квадратного уравнения


Теорема Виета

Теорема Виета помогает найти сумму и произведение корней уравнения:

Для уравнения ax2+bx+c=0, если корни x и x, то:

комплексные корни квадратного уравнения

Эти соотношения часто используются для проверки решений или для нахождения корней без полного решения уравнения.

Для проверки решения квадратных уравнений используйте онлайн калькулятор.

Для того, чтобы потренироваться решать квадратные уравнения и закрепить навыки счета подобных примеров, скачайте программу «Уравнения квадратные«.

Оцените статью
( 2 оценки, средний 5 от 5 )
ПОЛЕЗНЫЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ УЧЕБЫ И РАБОТЫ
Добавить комментарий

Этот сайт защищен reCAPTCHA и применяются Политика конфиденциальности и Условия обслуживания применять.

Срок проверки reCAPTCHA истек. Перезагрузите страницу.