График показательной функции

Показательная функция записывается в виде f(x)=a^x, где a>0 и a≠1a. Основные особенности графика показательной функции зависят от значения основания $a$.

Общие свойства показательной функции:

Область определения: x∈(−∞,+∞), то есть функция определена для всех значений $x$.

Область значений: y>0, так как a^x всегда положительно для любых x.

Асимптота: Ось xx (прямая y=0y = 0y=0) является горизонтальной асимптотой. Это означает, что график приближается к оси x при x→−∞, но никогда её не пересекает.

Точка пересечения с осью y: график всегда проходит через точку (0,1), так как a⁰=1.

Монотонность: Поведение графика зависит от основания a:
Если a>1, функция возрастает.
Если 0<a<1, функция убывает.

График показательной функции

График показательной функции — это кривая, которая описывает рост или убывание функции вида y=a^x, где a>0 и a≠1. 

График показательной функции отражает либо быстрое возрастание, либо быстрое убывание, в зависимости от значения основания a.

Этапы построения графика показательной функции:

1. Определить область определения: Показательная функция a^x определена для всех значений x.

2. Найти ключевые точки:
При x=0, всегда a⁰=1 (независимо от основания $a$, график проходит через точку (0,1).
Подставляем несколько значений x, чтобы получить несколько точек на графике.

3. Построить ось симметрии и отметить асимптоту:
Для всех a>0, y→0 при x→−∞, то есть график приближается к оси $x$, но никогда её не пересекает (ось $x$ — это горизонтальная асимптота).

4. Определить монотонность функции:
Если a>1, функция возрастает: при увеличении x значения y быстро растут.
Если 0<a<1, функция убывает: при увеличении x значения $y$ уменьшаются.

5. Построить симметричную часть графика для отрицательных x:
Для отрицательных значений $x$, график будет симметрично приближаться к оси $x$, но не пересекать её.

6. Провести через точки плавную кривую: Соедините ключевые точки плавной линией, которая будет отражать характер показательной функции.

Пример 1: f(x)=2^x

Область определения: x∈(−∞,+∞).
Ключевые точки:
f(0)=2⁰=1 — точка (0,1).
f(1)=2¹=2 — точка (1,2).
f(−1)=2⁻¹=1​ — точка (−1,0.5).
Асимптота: При x→−∞, f(x)→0, но не пересекает ось x.
Монотонность: Функция возрастает, так как 2>1.
Симметричная часть для отрицательных x:
Например, f(−2)=2⁻²=1/4​ — точка $)$.
Построение кривой: Соединяем точки плавной кривой.

Пример 2: f(x)=(1/2)^x

Область определения: x∈(−∞,+∞).
Ключевые точки:
f(0)=(1/2)⁰=1 — точка (0,1).
f(1)=(1/2)¹=1/2​ — точка (1,0.5).
f(−1)=(1/2)⁻¹=2 — точка (−1,2).
Асимптота: При x→+∞, f(x)→0, график приближается к оси x.
Монотонность: Функция убывает, так как 0<1/2<1.
Симметричная часть для отрицательных x:
Например, f(−2)=(1/2)⁻²=4 — точка (−2,4).
Построение кривой: Соединяем точки плавной кривой.