График логарифмической функции y=loga(x), где a>1, имеет следующие ключевые особенности:
Основные характеристики:
Область определения: логарифмическая функция определена только для положительных значений x, то есть x>0.
Область значений: функция y=loga(x) может принимать любые значения от −∞ до +∞.
Точка пересечения с осью x: график пересекает ось x в точке (1,0), так как loga(1)=0 независимо от значения основания a.
Асимптота: график имеет вертикальную асимптоту, которая совпадает с осью y (прямая x=0). График приближается к этой асимптоте, но никогда её не пересекает.
Монотонность: логарифмическая функция возрастает, если основание a>1. При этом функция растет медленно по мере увеличения x.
Форма графика: график начинается от вертикальной асимптоты и растет, постепенно увеличиваясь и приближаясь к бесконечности, но при этом он не достигает горизонтального уровня.
Пример 1: y=log10(x)
Область определения: x>0.
Ключевые точки:
log10(1)=0, точка (1,0).
log10(10)=1, точка (10,1).
log10(0.1)=−1, точка (0.1,−1).
Асимптота: Вертикальная асимптота x=0.
Монотонность: Функция возрастает.
Пример 2: y=log2(x)
Область определения: x>0.
Ключевые точки:
log2(1)=0, точка (1,0).
log2(2)=1, точка (2,1).
log2(0.5)=−1, точка (0.5,−1).
Асимптота: Вертикальная асимптота x=0.
Монотонность: Функция возрастает.
Пример 3: y=log0,5(x)
Область определения: x>0.
Ключевые точки:
log0,5(1)=0, точка (1,0).
log0,5(2)=-1, точка (2,-1).
log0,5(0.5)=1, точка (0.5,1).
Асимптота: Вертикальная асимптота x=0.
Монотонность: Функция убывает.