Делители и кратные натуральных чисел: НОД и НОК

➤ Понятие: делители и кратные чисел

Делитель — это число, на которое нужно разделить.
Пример 1. В выражении 21 : 7 = 3, делителем является число 7, потому что число 21 делится на число 7 без остатка).
Пример 2. Число 12 делится без остатка на числа 1, 2, 3, 4, 6, 12. Поэтому все эти числа являются делителями числа 12.

Кратное — это число, которое без остатка делится на другое число.
Пример 1. Число 6  делится на 3 без остатка. Поэтому 6 является кратным числа 3.
Пример 2. Кратными числа 5 являются числа 5, 10, 15, 20, 25 и т.д.. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка. У любого числа бесконечно много кратных.

➤  Простые и составные числа

Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Признак делимости на 2
Любое четное число делится на 2.

• Четным называется число, которое делится без остатка на 2 (например, 0, 2, 4, 6, 8, 10 и т.д.)
• Нечетным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1 (например, 1, 3, 5, 7, 9 и т.д.)

Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. 

Признак делимости на 5
Любое число, которое оканчивается на 0 или 5, делится на 5.

Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27. Сумма его цифр равна 9 (2 + 7 = 9). Девять делится на 3, значит 27 делится на 3.

Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр равна 9 (1 + 8 = 9). Девять делится на девять, значит 18 делится на 9.

➤  Разложение составного числа на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители, то есть представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.
Например: 18 = 2 × 3 × 3, 210 = 2 × 3 × 5 × 7
Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым числом.
Например: 180 = 18 × 10 = 3×6  ×  5×2 = 3 × 2×3 ×  5×2.

Удобно раскладывать составное число на простые множители по схеме: проводится вертикальная линия. Слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители. При разложении числа этим способом, используют признаки делимости.

Когда в итоге получена единица, деление завершается. При этом нужно проверить, чтобы делители, записанные справа от вертикальной линии, были простыми числами. 

➤  Нахождение делителей числа

Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим пример.

Пример 1. Найти делители числа 12.
Чтобы понять, как эти получаются делители, разложим число 12 на простые множители: 12=2×2×3. 
Таким образом, мы получили делители числа 12: 1, 2, 3 и 12.
Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой: 2×2=4,  2×3=6. 
Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

На основании примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:

• записать в качестве первого делителя единицу;
• разложить исходное число на простые множители; 
• найти все возможные произведения полученных простых множителей между собой. 

➤  НОД — наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель можно также находить для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого все числа раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.