Задачи на вероятность по математике

Задачи на вероятность — это задачи, в которых нужно определить вероятность того или иного события. Такие задачи базируются на теории вероятностей, которая изучает закономерности случайных событий. Обычно вероятность события A обозначается как P(A) и вычисляется по формуле:

Основные понятия теории вероятностей

1. Испытание — это действие, результат которого зависит от случая.
2. Случайное событие — это событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания.
3. Благоприятные исходы — это исходы, при которых наступает рассматриваемое событие.
4. Вероятность события — это числовая мера вероятности наступления события. Для конечного числа исходов вероятность определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Пример 1: Классическая задача на вероятность

Задача: В коробке лежат 5 красных и 3 синих шарика. Наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлечённый шар будет синим?

Решение:
1. Общее количество исходов. В коробке всего 5 красных и 3 синих шарика, всего шариков 5+3=8.
2. Количество благоприятных исходов. Поскольку мы хотим, чтобы извлечённый шар был синим, благоприятными исходами являются ситуации, когда вытаскивается синий шар. Таких шаров 3.
3. Вычисление вероятности. По формуле вероятности:Ответ: Вероятность того, что извлечённый шар будет синим, равна 3/8​.

Пример 2: Вероятность сложного события

Задача: В мешке 6 белых, 4 красных и 2 зелёных шара. Какова вероятность того, что вытянутый случайно шар окажется либо белым, либо зелёным?

Решение:
1. Общее количество исходов. Всего в мешке 6+4+2=12 шаров.
2. Количество благоприятных исходов. Нам подходит ситуация, когда вытягивается либо белый шар, либо зелёный. Белых шаров 6, зелёных 2, следовательно, благоприятных исходов 6+2=8.
3. Вычисление вероятности. По формуле вероятности:Ответ: Вероятность того, что вытянутый шар окажется белым или зелёным, равна 2/3​.

Пример 3: Задача на независимые события

Задача: Монета подбрасывается дважды. Какова вероятность того, что оба раза выпадет «орёл»?

Решение:
1. Общее количество исходов. При каждом подбрасывании монеты есть два возможных исхода: «орёл» или «решка». Поскольку подбрасывание монеты дважды — это независимые события, общее количество возможных исходов для двух подбрасываний равно 2×2=4:
орёл-орёл,
орёл-решка,
решка-орёл,
решка-решка.
2. Количество благоприятных исходов. Нас интересует только исход «орёл-орёл». Это один благоприятный исход.
3. Вычисление вероятности. Вероятность того, что оба раза выпадет «орёл»:Ответ: Вероятность того, что оба раза выпадет «орёл», равна 1/4​.

Пример 4: Условная вероятность

Задача: В коробке 10 шаров: 4 белых и 6 чёрных. Сначала достаётся один шар, а потом второй, при этом первый шар не возвращается в коробку. Какова вероятность того, что оба шара будут чёрными?

Решение:
1. Общее количество исходов при первом вытягивании. Всего в коробке 10 шаров, и первый раз мы можем достать любой из них. Вероятность того, что первый шар чёрный:
P(чёрный первый)=6/10=3/5
2. Общее количество исходов при втором вытягивании. После того как первый шар был извлечён (предположим, чёрный), в коробке остаётся 9 шаров, из которых 5 — чёрные. Вероятность того, что второй шар будет чёрным:
P(чёрный второй)=5/9
3. Вычисление полной вероятности. Вероятность того, что оба шара будут чёрными, — это произведение вероятностей двух последовательных событий:Ответ: Вероятность того, что оба шара будут чёрными, равна 1/3.

Пример 5: Задача на противоположное событие

Задача: В корзине лежат 7 яблок, из них 3 гнилых. Случайным образом достаётся одно яблоко. Какова вероятность того, что оно окажется не гнилым?

Решение:
1. Общее количество исходов. Всего в корзине 7 яблок.
2. Количество благоприятных исходов. Не гнилых яблок 7−3=4.
3. Вычисление вероятности. Вероятность того, что вытянутое яблоко окажется не гнилым:Ответ: Вероятность того, что яблоко окажется не гнилым, равна 4/7​.

Пример 6: Задача на условную вероятность (сложнее)

Задача: В коробке лежат 8 шаров: 3 белых и 5 чёрных. Два шара достаются случайным образом. Какова вероятность того, что оба шара будут белыми, если известно, что хотя бы один из них — белый?

Решение:

1. События: Пусть:
A — событие «оба шара белые»,
B — событие «хотя бы один шар белый».
Мы ищем условную вероятность P(A∣B), которая вычисляется по формуле условной вероятности:Поскольку событие A уже включает в себя событие B, то P(A∩B)=P(A).

2. Вычисление P(A). Вероятность того, что оба шара белые:(где (n/k) — число сочетаний из $n$ по $k$).

3. Вычисление P(B). Вероятность того, что хотя бы один шар белый, можно найти через противоположное событие («оба шара чёрные»):

4. Вычисление условной вероятности. Теперь найдём P(A∣B):

Ответ: Вероятность того, что оба шара будут белыми, при условии, что хотя бы один белый, равна 1/6​.