Задачи на движение на сближение

Задачи на сближение связаны с движением объектов, которые приближаются друг к другу, двигаясь в одном или разных направлениях. Для решения таких задач важно правильно использовать основные формулы для скорости, времени и расстояния. Рассмотрим различные виды задач на сближение: в одном направлении, в разных направлениях и сложные задачи.

Сближение в одном направлении

Два автомобиля стартовали в разное время из одного города и движутся в одном направлении. При этом второй автомобиль выехал тогда, когда первый уже проехал 60 км. Первый автомобиль движется со скоростью 80 км/ч, второй — со скоростью 100 км/ч. На каком расстоянии от начальной точки второй автомобиль догонит первый?

Решение:

Разность скоростей: Vразн=100−80=20 км/ч.
Время, через которое второй автомобиль догонит первый: t=S/Vразн=60/20=3 часа.
Расстояние от начальной точки, на котором произойдет встреча: S=100×3=300 км.

Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 3 часа на расстоянии 300 км от начальной точки.

Сближение в разных направлениях (навстречу друг другу)

Два велосипедиста стартовали одновременно из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 120 км, и поехали навстречу друг другу. Один едет со скоростью 15 км/ч, второй — со скоростью 25 км/ч. Через какое время они встретятся?

Решение:

Общая скорость сближения: Vобщ=15+25=40 км/ч.
Время до встречи: t=S/Vобщ=120/40=3 часа.

Ответ: Велосипедисты встретятся через 3 часа.

Сложная задача на сближение с остановкой

Два поезда отправились из двух станций, находящихся на расстоянии 480 км, и движутся навстречу друг другу. Первый поезд выехал в 10.00 и ехал со скоростью 90 км/ч, через 2 часа он сделал остановку на 1 час. Второй поезд выехал в 12.00 и ехал со скоростью 60 км/ч. Через сколько времени после отправления второго поезда они встретятся?

Решение:

Первый поезд за 2 часа до выезда второго поезда проехал S1=90×2=180 км.
Расстояние между поездами на момент выезда второго поезда было Sост=480−180=300 км
В первый час после выезда второго поезда: первый проехал 0 км (стоял), второй проехал 60 км (60 км/ч× 1).
Расстояние между поездами через 1 час после выезда второго поезда: Sост=300−60=240 км.
После остановки первый поезд снова двигается с той же скоростью 90 км/ч. Общая скорость сближения теперь: Vобщ=90+60=150 км/ч.
Время на преодоление оставшегося расстояния: t=240/150=1.6 часа или 1 час 36 минут.
Общее время до встречи с момента отправления второго поезда: 1+1.6=2.6 часа или 2 часа 36 минут.

Ответ: Поезда встретятся через 2 часа 36 минут после отправления второго поезда.

4. Сложная задача на сближение с изменением скорости

Два автомобиля стартовали одновременно из двух пунктов, находящихся на расстоянии 300 км друг от друга, и поехали навстречу друг другу. Первый автомобиль первые 2 часа двигался со скоростью 60 км/ч, затем увеличил скорость до 80 км/ч. Второй автомобиль двигался со скоростью 70 км/ч на протяжении всего пути. Через какое время они встретятся?

Решение:

Первые 2 часа первый автомобиль проехал S1=60×2=120 км.
Второй автомобиль за эти 2 часа проехал S2=70×2=140 км.
Оставшееся расстояние между автомобилями после 2 часов: Sост=300−(120+140)=40 км.
После 2 часов первый автомобиль движется со скоростью 80 км/ч, а второй — со скоростью 70 км/ч. Общая скорость сближения на втором этапе: Vобщ=80+70=150 км/ч.
Время на преодоление оставшегося расстояния: t=40/150≈0.27 часа или примерно 16 минут.
Общее время до встречи: 2+0.27=2.27 часа или 2 часа 16 минут.

Ответ: Автомобили встретятся через 2 часа 16 минут.

5. Сложная задача на движение под углом

Два катера одновременно вышли из одной точки. Один катер плывет на север со скоростью 30 км/ч, другой — на восток со скоростью 40 км/ч. Через сколько времени они окажутся на расстоянии 50 км друг от друга?

Решение:

Так как катера движутся под прямым углом, расстояние между ними через t часов можно найти с помощью теоремы Пифагора: S=√[(30t)²+(40t)²]=√[900t²+1600t²]=√2500t²=50t.
Нам дано, что расстояние между ними должно быть 50 км, поэтому 50×t=50.
Решаем уравнение: t=50/50=1 час.

Ответ: Катера окажутся на расстоянии 50 км друг от друга через 1 час.

Формулы, полезные для решения задач на сближение:

Общая скорость сближения (если объекты движутся навстречу друг другу): Vобщ=V1+V2.
Скорость сближения в одном направлении (если один объект догоняет другой): Vразн=∣V1−V2∣.
Время до встречи: t=S/Vобщ или t=S/Vразн, где — расстояние между объектами.
Расстояние между объектами под углом (если движутся под углом 90 градусов):
S=√[(V1×t)²+(V2×t)²[.

Задачи на сближение требуют точного анализа условий движения и правильного применения формул для скорости и расстояния.

Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами. Если это не так, нужно се привести к единым единицам измерения. Используйте конвертеры для перевода:

Для проверки задач используйте онлайн калькулятор решения задач на движение.

Скачать программы, которые формируют задачи на движение разных видов:
-> Задачи на движение (разные виды) для печати формата А4,
-> Тренажер задач на движение для решения без печати.