Теория вероятностей — это раздел математики, который занимается анализом случайных событий и вероятностей их наступления. Рассмотрим решения двух приведённых задач.
Задача 1. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8?
Решение:
1. Возможные результаты бросков двух кубиков:
Каждый кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. Следовательно, общее количество возможных исходов при броске двух кубиков: 6×6=36
2. Найдем все случаи, когда сумма очков равна 8. Всего таких комбинаций — 5.
Перечислим все возможные комбинации чисел на двух кубиках, которые дают в сумме 8:
(2, 6)
(3, 5)
(4, 4)
(5, 3)
(6, 2)
3. Найдем вероятность:
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: P=5/36.
Ответ: Вероятность того, что сумма очков равна 8, равна 5/36 или примерно 0.1389 (13.89%).
Задача 2. На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение:
1. Общее количество билетов: 25 билетов.
2. Количество выученных билетов:
Поскольку Сергей не выучил 3 билета, то количество выученных билетов:
25−3=22
3. Найдем вероятность того, что Сергей вытянет выученный билет. Она равна отношению количества выученных билетов к общему числу билетов:
P=22/25
Ответ: Вероятность того, что Сергей вытащит выученный билет, равна 22/25 или 0.88 (88%).
Задача 3. Монета и игральный кубик
Одновременно подбрасывают монету и бросают игральный кубик. Найдите вероятность того, что выпадет «орёл» и число больше 4 на кубике.
Решение:
1. Исходы для монеты:
У монеты два возможных исхода: орёл (О) или решка (Р).
2. Исходы для кубика:
У кубика шесть граней, на которых выпадают числа от 1 до 6. Нас интересуют числа, больше 4, то есть 5 или 6. Всего таких благоприятных исходов — 2.
3. Общее количество возможных исходов при подбрасывании монеты и броске кубика:
2×6=12 (2 исхода для монеты и 6 для кубика).
4. Число благоприятных исходов:
Для монеты нужно, чтобы выпал орёл (1 исход), а на кубике выпало число 5 или 6 (2 исхода). Следовательно, благоприятных исходов:
1×2=2
5. Вероятность того, что выпадет орёл и число больше 4 на кубике:
P=2/12=1/6
Ответ: 1/6 или примерно 0.1667 (16.67%).
Задача 4. Два независимых события
Вероятность того, что в определённый день пойдёт дождь, равна 0.3. Вероятность того, что автобус опоздает, равна 0.4. Найдите вероятность того, что в этот день пойдёт дождь и одновременно опоздает автобус.
Решение:
1. Вероятности событий:
P(A) — вероятность того, что пойдёт дождь = 0.3.
P(B) — вероятность того, что автобус опоздает = 0.4.
2. Независимость событий:
События «дождь» и «опоздание автобуса» независимы, поэтому вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей:
P(A∩B)=P(A)×P(B)
3. Подставляем значения:
P(A∩B)=0.3×0.4=0.12
Ответ: Вероятность того, что пойдёт дождь и автобус опоздает, равна 0.12 (12%).
Задача 5. Вытягивание карт из колоды
Из стандартной колоды в 52 карты наугад вытягивают одну карту. Найдите вероятность того, что это будет дама.
Решение:
1. Общее количество карт: В стандартной колоде 52 карты.
2. Количество дам в колоде: В колоде всего 4 дамы (по одной на каждую масть: пики, черви, трефы, бубны).
3. Найдем вероятность того, что вытащенная карта будет дамой:
P=4/52=1/13
Ответ: 1/13 или примерно 0.0769 (7.69%).
Задача 6. Лотерея
В лотерее участвует 100 билетов, среди которых 5 выигрышных. Какова вероятность того, что случайно выбранный билет окажется выигрышным?
Решение:
1. Общее количество билетов: в лотерее 100 билетов.
2. Количество выигрышных билетов: 5.
3. Найдем вероятность того, что выбранный билет окажется выигрышным:
P=5/100=0.05
Ответ: Вероятность равна 0.05 или 5%.
Задача 7. Урна с шарами
В урне находятся 6 белых и 4 чёрных шара. Наугад вытягивают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется белым?
Решение:
1. Общее количество шаров: Всего в урне 6+4=10 шаров.
2. Количество белых шаров: 6.
3. Найдем вероятность того, что вытянутый шар окажется белым:
P=6/10=0.6
Ответ: Вероятность равна 0.6 или 60%.
Задача 8. Задача на условную вероятность
В классе 12 девочек и 8 мальчиков. Среди девочек 3 отличницы, среди мальчиков 2 отличника. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик окажется отличником, если известно, что он мальчик.
Решение:
1. Условие: Ученик — мальчик, поэтому выбираем из 8 мальчиков.
2. Количество отличников среди мальчиков: среди 8 мальчиков 2 отличника.
3. Найдем условную вероятность:
Вероятность того, что мальчик окажется отличником:
P=2/8=0.25
Ответ: Вероятность равна 0.25 или 25%.
Эти задачи по теории вероятностей охватывают разные типы событий: независимые события, условные вероятности, классическое определение вероятности, что важно для подготовки к экзаменам по математике (ОГЭ/ЕГЭ).