Теорема Виета для решения квадратного уравнений

Теорема Виета — это теорема, которая устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Рассмотрим общее квадратное уравнение вида:

$$,$$

где a≠0, b и c — коэффициенты уравнения.

Пусть x_1​ и x₂​ — корни этого уравнения. Тогда, согласно теореме Виета, выполняются следующие соотношения:

1. Сумма корней: x₁+x₂=−b/a​,
2. Произведение корней: $$.$$

Эти формулы позволяют находить суммы и произведения корней уравнения, не решая его напрямую.

Рассмотрим несколько примеров использования теоремы Виета для решения квадратных уравнений.

Пример 1. Решим уравнение: $$.$$

Шаг 1. Применяем теорему Виета: a=1, b=−7, c=10.
По теореме Виета:
— Сумма корней: x₁+x₂=−b/a=−(−7)/1=7,
— Произведение корней: x₁⋅x₂=c/a=10/1​=10.

Шаг 2. Ищем корни
Нам нужно найти такие числа x₁ и x_2​, которые удовлетворяют условиям.
Пробуем подобрать такие числа. Это x₁=5 и x₂=2, так как: 5+2=7 и 5⋅2=10.
Ответ: корни уравнения x₁=5, x₂=2.

Пример 2. Решим уравнение: $$.$$

Шаг 1. Применяем теорему Виета.
Для этого уравнения: a=2, b=−3, c=−2.
По теореме Виета:
— Сумма корней: x₁+x₂=−(−3)/2=3/2​,
— Произведение корней: x₁⋅x₂=−2/2=−1.

Шаг 2. Ищем корни.
Нам нужно найти такие числа x1x_1x1​ и x2x_2x2​, которые удовлетворяют условиям.
Перейдём к дробным числам. Пусть x₁=2, а x₂=−1/2​, проверим:
2+(−1/2)=3/2, 2⋅(−1/2)=−1.
Оба условия выполнены, значит, корни уравнения $2$ и x₂=−1/2​.

Пример 3. Решим уравнение: $$.$$

Шаг 1. Применяем теорему Виета.
Для этого уравнения: a=1, b=4, c=4.
По теореме Виета:
— Сумма корней: x₁+x₂=−4/1=−4,
— Произведение корней: x₁⋅x₂=4/1=4.

Шаг 2. Ищем корни.
Равенства выполняются, если оба корня одинаковы.
Проверяем x₁=x₂=−2:
−2+(−2)=−4, (−2)⋅(−2)=4.
Оба условия выполнены. Следовательно, уравнение имеет один корень кратности два: x₁=x₂=−2.

Заключение

Теорема Виета упрощает работу с квадратными уравнениями, когда нужно найти связь между корнями и коэффициентами уравнения, а также помогает проверить правильность вычисленных корней. Для проверки решения используйте онлайн калькулятор для квадратного уравнения.

Для проверки решения квадратных уравнений используйте онлайн калькулятор.

Для того, чтобы потренироваться решать квадратные уравнения и закрепить навыки счета подобных примеров, скачайте программу «Уравнения квадратные«.