Как решить систему трех уравнений

Решить систему из трех уравнений с тремя переменными можно различными методами. Вот два основных метода:

• метод подстановки;
• метод исключения (или метод Гаусса).

Рассмотрим каждый из них на примере.

Метод подстановки

Решим следующую систему из 3 равнений:

Шаги:

1. Выразите одну переменную через другие из одного из уравнений. Выразим x из первого уравнения:

2. Подставьте выражение для x в другие уравнения:

Подставим в уравнение 2:

Подставим в уравнение 3:

3. Решите систему из двух уравнений (4) и (5):

Выразим z из второго уравнения:

Подставим это в первое уравнение:

Подставим значение y в уравнение для z:

4. Найдите x из выражения x=4−2y+z:

Ответ:

Метод исключения (или метод Гаусса)

Метод Гаусса (метод исключения) позволяет решать системы линейных уравнений, приводя матрицу коэффициентов системы к ступенчатому или треугольному виду. Рассмотрим, как это сделать на примере системы из трех уравнений.

Пример системы:

Шаги решения методом Гаусса:

1. Запись системы в виде расширенной матрицы:

2. Приведение к треугольному виду (прямой ход): Используйте элементарные преобразования строк (перестановку строк, умножение строк на число и вычитание строк) для получения матрицы, где все элементы ниже главной диагонали будут равны нулю.

• В первом уравнении выразите x₁​ и сделайте так, чтобы первый элемент первой строки был равен 1.
• Из второго и третьего уравнения вычтите первую строку, умноженную на соответствующие коэффициенты, чтобы убрать x₁​.
• Во втором уравнении сделайте так, чтобы второй элемент второй строки был равен 1.
• Из третьего уравнения вычтите вторую строку, умноженную на нужный коэффициент, чтобы убрать x₂​.

Пример ступенчатой матрицы (после прямого хода):

Обратный ход (нахождение решений): Когда система приведена к треугольному виду, начинаем решать уравнения снизу вверх:

• Из третьего уравнения выражаем x₃=b′₃​.
• Подставляем x₃​ во второе уравнение и находим x₂​.
• Подставляем x₂​ и x₃​ в первое уравнение и находим x₁​.

Ответ: Получаем значения x₁​, x₂​ и x₃​.

Пример:

Рассмотрим систему уравнений:​

1. Записываем расширенную матрицу:

2. Приводим к треугольному виду: Для этого на первом шаге избавляемся от x₁​ во втором и третьем уравнении.

Первую строку умножаем на 1/2: ​​

Кo второй строке прибавляем первую, умноженную на 3: ​​

К третьей строке прибавляем первую, умноженную на 2: ​​

Теперь избавляемся от x₂​ в третьем уравнении:

• Вторую строку умножаем на 2: ​​
• К третьей строке вычитаем вторую, умноженную на 2: ​​

Обратный ход:

• Из третьего уравнения находим $-1$.
• Подставляем x_3​ во второе уравнение: x₂+(−1)=2, отсюда x₂=3.
• Подставляем x₂=3 и x₃=−1 в первое уравнение: x₁+0.5⋅3−0.5⋅(−1)=4x, отсюда $2$.

Ответ:

$$.$$