Пропорция в математике

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.
Например, отношение 1/5  равно отношению 2/10.

Дроби, из которых составлена пропорция, всегда равны. Например, если в пропорции  выполнить деление в обеих дробях, то получится число 1/5 (или 0,2) в обеих частях.

 Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обеих дробей) называются членами пропорции. Эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены. 

где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.

Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, то получим: a : b = c : d

Числа a и d располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа b и c располагаются посередине, поэтому их назвали средними.

Главное свойство пропорции

Произведение крайних членов равно произведению средних.

где : a, d — крайние члены, b, c — средние члены. Получаем: a×d=b×c

Чтобы проверить, правильно ли составлена пропорция, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такая пропорция в математике составлена правильно.

Заметим, что крайние и средние члены пропорции располагаются «крест-накрест», поэтому перемножаем члены пропорции «крест-накрест».

Рассмотрим пропорцию на примере

Юля в магазине купила 10 яблок и 5 бананов. Запишем отношение десяти яблок к пяти бананам — 10 : 5.
Если мы запишем данное отношение как дробь, то получим 10/5=2.
То есть, на один банан будет приходиться два яблока.

На второй день Юля купила в магазине 8 яблок и 4 банана. Получаем отношение 8 : 4.
Если мы запишем данное отношение как дробь, то получим 8/4=2.
То есть, на один банан будет приходиться два яблока.

Можно сделать вывод, что отношение  пропорционально отношению . То есть десять относится к пяти, как восемь относится к четырем».

Проверим правильность составления пропорции (основное свойство пропорции):

10 и 4— крайние члены; 5 и 8 — средние члены.
Получаем 10×4=5×8 ⇒ 40=40.
Произведение крайних членов равно произведению средних членов, значит пропорция  составлена правильно.

На третий день Юля купила в магазине 6 яблок и 2 банана. Получаем отношение 6 : 2.
Если мы запишем данное отношение как дробь, то получим 6/2=3.
То есть, на один банан будет приходиться три яблока.

Данное отношение не является пропорциональным к первому или второму отношению.
То есть отношение 6/2  не пропорционально отношению 10/5 и также  не пропорционально отношению 8/4:
6×5≠ 2×10  и  6×4≠ 2×8  — произведение крайних членов пропорции не равно произведению её средних членов. Значит пропорция в математике  составлена неправильно.

Прямая и обратная пропорциональность

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз.

Прямая пропорциональность — взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз. И наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая уменьшается во столько же раз.

Рассмотрим пример 1.

Автобус едет со скоростью 60 км/ч. Это значит, что за один час проедет  расстояние, равное 60 километрам, а за два часа — расстояние 120 км.
Увеличение времени в два раза привело к увеличению расстояния во столько же раз (в нашем примере в 2 раза).
Такие величины, как время и расстояние называют прямо пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют прямой пропорциональностью.
И наоборот. Если автобус едет со скоростью 60 км/час, то за 60 минут он проедет 60 километров, а за 30 минут — 30 километров. Таким образом, уменьшив время в два раза, расстояние уменьшится во столько же раз. 

Обратная пропорциональность — взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой уменьшение другой во столько же раз. И наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая увеличивается во столько же раз.

Рассмотрим пример 2.

Расстояние между двумя пунктами (А и Б) 160 км. Автобус выехал из пункта А со скоростью 80 км/ч и доехал до пункта Б за 2 часа (160 км : 80 км/ч = 2 ч).
На обратном пути автобус сломался и его скорость составила 40 км/ч. Поэтому на тот же путь и он затратил 4 часа (160 км : 40 км/ч = 4 ч).
Как видно из примера, уменьшение скорости привело к увеличению времени движения во столько же раз.
Такие величины, как скорость и время называют обратно пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют обратной пропорциональностью.