Неразумные числа (иногда называемые «невещественными» или «иррациональными числами») — это числа, которые не могут быть представлены в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа. То есть они не могут быть записаны в виде отношения двух целых чисел a/b, где a и b — целые числа, а b≠0.
Иррациональные числа обладают бесконечной непериодической десятичной записью, то есть их десятичное представление не повторяется в цикле.
Примеры иррациональных чисел:
Число √ — это одно из самых известных иррациональных чисел. Оно возникает при нахождении длины диагонали квадрата со стороной 1. В десятичной форме 2≈1.41421356… и это число продолжается бесконечно без повторений.
Число π (пи) — это отношение длины окружности к её диаметру. π≈3.14159… также имеет бесконечную непериодическую десятичную запись.
Число e — это основание натурального логарифма, его значение e≈2.71828… также является иррациональным.
Золотое сечение φ\varphi — ещё одно иррациональное число, определяемое формулой φ=(1+√5)/2, и его десятичная запись также бесконечна и непериодична: φ≈1.61803…
Как понять, что число иррациональное:
➤ Если число не может быть выражено в виде дроби a/b, где a и b — целые числа, то оно иррационально.
➤ Иррациональные числа возникают как корни некоторых уравнений, которые не имеют целого или дробного решения. Например, уравнение x2=2 даёт иррациональное решение √2.
Основные свойства иррациональных чисел:
1. Бесконечная непериодическая запись: Иррациональные числа не могут быть точно выражены конечной десятичной дробью или повторяющейся десятичной дробью.
2. Невозможность представления в виде дроби: Это ключевое свойство иррациональных чисел.
3. Плотность в множестве вещественных чисел: Между любыми двумя рациональными числами всегда можно найти иррациональное число. Также между любыми двумя иррациональными числами можно найти рациональное.
Отношение к рациональным числам:
➤ Рациональные числа — это числа, которые могут быть выражены в виде дроби a/b, где и b — целые числа, а знаменатель b≠0. Например, 1/2,3,−7/4 — рациональные числа.
➤ Иррациональные числа не могут быть представлены в виде дроби и имеют бесконечные непериодические десятичные представления.
Исторический контекст:
Идея иррациональных чисел появилась в древней Греции. Одним из первых, кто открыл иррациональность, был ученик Пифагора — Гиппас, который доказал, что √2 нельзя выразить как отношение двух целых чисел.
Итак, неразумные (иррациональные) числа — это важная категория чисел, не поддающихся представлению в виде дроби, с бесконечным и непериодическим десятичным представлением, как π, √2, и e.