Нахождение вероятности события — это основополагающий аспект теории вероятностей, который помогает нам оценивать вероятность возникновения различных событий в условиях неопределенности. Вероятность служит связующим звеном между математическими моделями и реальными явлениями, позволяя формализовать наши ожидания относительно будущих исходов.
Каждый день мы сталкиваемся с ситуациями, в которых необходимо принимать решения на основе неполной информации. Будь то прогноз погоды, выбор подходящей стратегии в бизнесе или анализ спортивных событий — вероятность помогает нам предсказывать и оценивать риски.
В этой статье мы рассмотрим основные методы нахождения вероятности, включая понятия благоприятных исходов и общее число возможных исходов. Мы также обсудим, как складываются и пересекаются события, и как правильно вычислять вероятность суммы и произведения событий. Понимание этих концепций не только углубит наши знания в области математики, но и откроет новые горизонты в принятии обоснованных решений в жизни и работе.
1. Нахождение вероятности события
Вероятность события измеряет вероятность того, что оно произойдёт. Она выражается числом от 0 до 1, где:
0 означает невозможность события.
1 означает, что событие произойдёт наверняка.
Формула для нахождения вероятности события:
P(A)=число благоприятных исходов / общее число исходов
Пример:
Если мы подбрасываем правильную монету, вероятность выпадения «орла»:
P(орёл)=1/2
2. Вероятность суммы событий
Сумма событий A и B означает, что происходит хотя бы одно из этих событий. Это может быть либо событие A, либо событие B, либо оба события.
➤ Если события несовместны (не могут произойти одновременно), то вероятность суммы равна:
P(A∪B)=P(A)+P(B)
➤ Если события совместны (могут произойти одновременно), то из суммы вычитается вероятность их пересечения (совместного наступления):
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Где P(A∩B) — вероятность того, что события и B произойдут одновременно.
Пример (несовместные события):
Вероятность того, что при броске кубика выпадет либо 1, либо 6:
P(1∪6)=P(1)+P(6)=1/6+1/6=2/6=1/3P
Пример (совместные события):
Вероятность того, что при броске двух игральных кубиков выпадет сумма очков 7 или выпадет дуплет (одинаковые числа на обоих кубиках):
➤ Событие A: выпадает сумма 7 (комбинации: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)), всего 6 благоприятных исходов.
➤ Событие B: выпадает дуплет (комбинации: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)), всего 6 благоприятных исходов.
➤ Пересечение событий A∩B — таких исходов нет (невозможно, чтобы сумма была 7 и выпал дуплет одновременно), поэтому P(A∩B)=0.
➤ Следовательно:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=6/36+6/36−0=12/36=1/3
3. Вероятность произведения (пересечения) событий
Произведение (или пересечение) событий означает, что оба события происходят одновременно.
➤ Если события независимы, то вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению вероятностей этих событий:
P(A∩B)=P(A)×P(B)
➤ Если события зависимы, то используется условная вероятность:
P(A∩B)=P(A)×P(B∣A)
Где P(B∣A) — это вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.
Пример (независимые события):
Вероятность того, что при броске двух монет обе покажут «орёл»:
P(орёл на первой монете ∩ орёл на второй монете)=P(орёл)×P(орёл)=1/2×1/2=1/4
Пример (зависимые события):
Из урны с 5 белыми и 3 чёрными шарами вытаскивают два шара один за другим без возвращения. Найдите вероятность того, что оба шара будут белыми.
1. Вероятность того, что первый шар белый:
P(первый белый)=5/8
2. Вероятность того, что второй шар белый при условии, что первый шар уже белый:
P(второй белый ∣ первый белый)=4/7
Вероятность того, что оба шара будут белыми:
P(оба белые)=P(первый белый)×P(второй белый ∣ первый белый)=5/8×4/7=20/56=5/14
Итог:
- Вероятность события — это отношение благоприятных исходов к общему числу исходов.
- Вероятность суммы событий учитывает как их индивидуальные вероятности, так и пересечение (если оно есть).
- Вероятность произведения (пересечения) событий для независимых событий равна произведению их вероятностей, а для зависимых — произведению вероятности первого события и условной вероятности второго.