Решение уравнений с модулем может показаться сложным, но если следовать чёткой методологии, это становится проще. Давайте подробнее рассмотрим, как работать с уравнениями, содержащими модули, включая более сложные примеры и нюансы.
Основные понятия
Модуль числа (или абсолютное значение) числа x обозначается как ∣x∣ и определяется следующим образом:
- Если x≥0, то ∣x∣=x
- Если x<0, то ∣x∣=−x
Это означает, что при решении уравнения с модулем нужно рассмотреть оба случая — положительный и отрицательный вариант выражения под знаком модуля.
Шаги для решения уравнений с модулем
1. Записать условия для раскрытия модуля. Найти, при каких значениях переменной выражение под знаком модуля становится положительным или отрицательным.
2. Рассмотреть два случая:
➜ Когда выражение под модулем неотрицательное (раскрываем модуль «как есть»).
➜ Когда выражение под модулем отрицательное (раскрываем модуль с минусом).
3. Решить каждое из полученных уравнений в этих случаях.
4. Проверить каждое решение на соответствие условию для каждого случая.
Пример 1: Простое уравнение с модулем
Рассмотрим уравнение: ∣x−3∣=5
1. Запишите два случая:
1) x−3=5
2) x−3=−5
2. Решите каждое уравнение:
1) x−3=5 ⟹ x=5+3=8
2) x−3=−5 ⟹ x=−5+3=−2
-
Ответ: Уравнение ∣x−3∣=5 имеет два решения: x=8 и x=−2.
Пример 2: Уравнение с модулем и дополнительными операциями
Рассмотрим уравнение: ∣2x+1∣−3=0
1. Перепишите уравнение: ∣2x+1∣=3
2. Запишите два случая:
1) 2x+1=3
2) 2x+1=−3
3. Решите каждое уравнение:
1) 2x+1=3 ⟹ 2x=3−1 ⟹ 2x=2 ⟹ x=1
2) 2x+1=−3 ⟹ 2x=−3−1 ⟹ 2x=−4 ⟹ x=−2
Ответ: Уравнение ∣2x+1∣−3=0 имеет два решения: x=1 и x=−2.
Пример 3: Уравнение с двумя модулями
Рассмотрим уравнение: ∣x−1∣+∣x+2∣=5
1. Определите точки разбиения:
Точки 1 и −2 делят числовую ось на три интервала:
(−∞,−2)
[−2,1]
[1,∞)
2. Рассмотрите каждый интервал:
➜ Интервал 1: x<−2
∣x−1∣=−(x−1)=−x+1
∣x+2∣=−(x+2)=−x−2
Подставим в уравнение:
−x+1−x−2=5 ⟹ −2x−1=5 ⟹ −2x=6 ⟹ x=−3
Проверяем, x=−3 <−2 — решение подходит.
➜ Интервал 2: −2≤x<1
∣x−1∣=−(x−1)=−x+1
∣x+2∣=x+2
Подставим в уравнение:
−x+1+x+2=5 ⟹ 3=5
Нет решений в этом интервале.
➜ Интервал 3: x≥1
∣x−1∣=x−1
|x+2|=x+2
Подставим в уравнение:
x−1+x+2=5 ⟹ 2x+1=5 ⟹ 2x=4 ⟹ x=2
Проверяем, x=2 ≥ 1 — решение подходит.
Ответ: Уравнение ∣x−1∣+∣x+2∣=5 имеет два решения: x=−3 и x=2.
Пример 4: Уравнение с двумя модулями
Рассмотрим уравнение: ∣x−4∣+∣x+1∣=3
1. Определите точки разбиения:
Точки 4 и −1 делят числовую ось на три интервала:
(−∞,−1)
[−1,4]
[4,∞)
2. Рассмотрите каждый интервал:
➜ Интервал 1: x<−1
∣x−4∣=−x+4
∣x+1∣=−x−1
Подставим в уравнение:
−x+4−x−1=3 ⟹ −2x+3=3 ⟹ −2x=0 ⟹ x=0
Проверяем, 0<−1 — нет решений.
➜ Интервал 2: −1≤x<4
∣x−4∣=−x+4
∣x+1∣=x+1
Подставим в уравнение:
−x+4+x+1=3 ⟹ 5=3
Нет решений в этом интервале.
➜ Интервал 3: x≥4
∣x−4∣=x−4
∣x+1∣=x+1
Подставим в уравнение:
x−4+x+1=3 ⟹ 2x−3=3 ⟹ 2x=6 ⟹ x=3
Проверяем, 3≥4 — нет решений.
Заключение
Решение уравнений с модулем требует:
- Определения модуля и его разбиения на случаи.
- Решения полученных уравнений.
- Учёта всех возможных комбинаций, если уравнение содержит несколько модулей.
Также важно проверять, удовлетворяют ли найденные решения исходному уравнению, особенно при работе с модульными выражениями.
Практика поможет вам быстрее и увереннее решать такие уравнения! Если есть вопросы или нужно больше примеров, не стесняй