Как решить квадратное неравенство

Решение квадратных неравенств включает в себя несколько этапов, так как оно требует анализа знаков квадратичного выражения на различных интервалах. Основная цель — найти, при каких значениях переменной выражение принимает положительные или отрицательные значения.

Структура квадратного неравенства

Квадратное неравенство имеет вид:

$$,$$

где a≠0, b и c — коэффициенты, 🔲 — это один из знаков неравенства (>, <, ≥, ≤).

Шаги решения квадратного неравенства

1. Привести неравенство к стандартному виду

Переносим все члены на одну сторону, чтобы неравенство имело вид:

$$.$$

Например, 2^x−3x≥1 перепишется как: $$.$$

2. Решить квадратное уравнение

Решаем уравнение ax²+bx+c=0 для нахождения корней. Для этого можно использовать: формулу дискриминанта:

D=b²−4ac,

а затем корни:

• Если дискриминант D>0, у уравнения два действительных корня.
• Если D=0, у уравнения один корень.
• Если D<0, корней нет (что важно для анализа неравенства).

3. Определить промежутки с помощью корней

Найдя корни x₁​ и x₂​, разделим числовую ось на несколько промежутков:

• (−∞,x₁),
• (x₁,x₂),
• (x₂,+∞).

Эти промежутки определяются корнями квадратного уравнения, и на каждом из них нужно определить знак выражения ax²+bx+c.

4. Проверить знак выражения на каждом промежутке

Для этого выбираем любое число из каждого промежутка и подставляем его в выражение ax²+bx+c, чтобы выяснить, положительно оно или отрицательно.

• Если результат положительный, значит на этом промежутке выражение ax²+bx+c>0.
• Если результат отрицательный, значит на этом промежутке ax²+bx+c<0.

5. Записать решение

Теперь, когда вы знаете, на каких промежутках выражение положительно, а на каких — отрицательно, можно записать решение исходного неравенства. Если в неравенстве стоят знаки ≥ или ≤, включайте корни в ответ.

Пример решения квадратного неравенства

Рассмотрим неравенство: $$.$$

Шаг 1: Приведём к стандартному виду

Оно уже приведено к стандартному виду: $$.$$

Шаг 2: Решим квадратное уравнение

Решим уравнение x²−5x+6=0.

Найдём дискриминант: $$.$$

Корни:

Шаг 3: Разделим числовую ось

Числовая ось делится на три промежутка: (−∞,2), (2,3), (3,+∞).

Шаг 4: Проверим знак на каждом промежутке

Шаг 5: Запишем решение

Неравенство ≤0 выполняется на промежутке, где выражение отрицательно или равно нулю. Это промежуток [2,3].

Ответ: x∈[2,3].

Особые случаи

• Если дискриминант отрицателен (например, D<0), у уравнения нет действительных корней, и выражение не меняет знак на всей числовой оси. Нужно просто проверить, всегда ли выражение положительно или отрицательно, подставив любое число.
• Если неравенство строгое (например, ax²+bx+c>0), то корни не включаются в решение.

Итог

1. Приведите неравенство к стандартному виду.
2. Решите квадратное уравнение для нахождения корней.
3. Разделите числовую ось на промежутки корнями уравнения.
4. Определите знак выражения на каждом промежутке.
5. Запишите ответ в виде промежутков, соответствующих знаку неравенства.