График кубической функции (гиперболы)

График кубической функции — это кривая, которая имеет вид плавной линии с одной или двумя точками перегиба. Общий вид кубической функции можно выразить как:

y=ax³+bx²+cx+d

Где:
a, b, c, и $d$ — коэффициенты,
x — переменная.

Основные характеристики графика кубической функции:

1. Форма графика: Он может иметь одну точку перегиба, которая находится между вершинами. Это S-образная кривая, если a>0 (она спадает слева направо в начале и затем возрастает), или зеркальная S-образная, если a<0.

2. Пересечение с осями: График может пересекать ось $x$ в одной, двух или трёх точках, а также ось y в одной точке, которая равна y=d.

3. Точка перегиба: Это точка, в которой кривая меняет свою кривизну. Для кубической функции это происходит в точке, где вторая производная равна нулю.

Этапы построения графика кубической функции

1. Определите вид функции. Запишите функцию в общем виде:
y=ax³+bx²+cx+d
Пример: y=x³−3x²+2.

2. Найдите пересечение с осью y. Это точка, где x=0: y(0)=d
Для функции y=x³−3x²+2, пересечение с осью y произойдёт в точке y=2.

3. Найдите пересечения с осью x (нули функции). Для этого решите уравнение:
ax³+bx²+cx+d=0
В нашем примере: x³−3x²+2=0.
Это может потребовать нахождения корней уравнения, либо приближённых решений (графически или численно). В зависимости от значений a, b, c, и d, функция может иметь один, два или три корня.

4. Найдите критические точки. Для этого найдите первую производную функции y′(x) и решите уравнение y′(x)=0, чтобы определить точки, где функция достигает экстремумов:
y′(x)=3ax²+2bx+c
Найдите значения x, при которых производная равна нулю. В этих точках могут находиться локальные максимумы или минимумы.

5. Найдите точку перегиба. Для этого найдите вторую производную y′′ и решите уравнение y′′(x)=0, чтобы найти точку, где кривая меняет свою кривизну:
y′′(x)=6ax+2b

6. Постройте график. Используйте найденные ключевые точки (пересечения с осями, экстремумы, точку перегиба) для построения графика. Определите форму кривой и проведите плавную линию через ключевые точки.

Примеры кубических функций и их пересечения с осями

Пример 1: y=x³−3x²+2

1. Пересечение с осью y: y(0)=2
Точка пересечения: (0,2).

2. Пересечения с осью x (решение уравнения x³−3x²+2=0:
Корни: x=1, x=-0,7 и х=2,7 (приближенно).
Точки пересечения: (1; 0), (-0,7; 0), (2,7; 0).

3. Критические точки: Первая производная: y′(x)=3x²−6x
Решение: x=0 и x=2. Это критические точки.

4. Точка перегиба: Вторая производная: y′′(x)=6x−6
Точка перегиба: x=1.

График этой функции будет пересекать ось x в точках (-0,7; 1 и 2,7), ось y в точке (0, 2), и иметь одну точку перегиба в x=1.

Пример 2: y=−x³+3x

1. Пересечение с осью y: y(0)=0
Точка пересечения: (0,0).

2. Пересечения с осью x: Решаем уравнение −x³+3x=0:
x(x²−3)=0. Корни: x=0, x= √3 (~1,7) и x=− √3​ (~-1,7).
Точки пересечения: (0; 0), (1,7; 0), (−1,7; 0).

3. Критические точки: Первая производная:
y′(x)=−3x²+3
Решение: x=±1. Это критические точки.

4. Точка перегиба: Вторая производная:
y′′(x)=−6x
Точка перегиба: x=0.

График этой функции имеет три пересечения с осью x и одну точку перегиба в начале координат.

Таким образом, построение кубической функции включает нахождение её пересечений с осями, экстремумов и точек перегиба, что помогает точно построить график.