В теории вероятностей есть несколько ключевых формул для вычисления вероятности событий. Эти формулы зависят от характера событий и условий задачи. Рассмотрим основные из них.
1. Вероятность простого события
Если событие A происходит с вероятностью P(A), и все исходы равновероятны, то вероятность вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Пример:
Если бросить игральный кубик, вероятность выпадения числа 3:
P(3)=1/6 (так как всего 6 возможных исходов, и только один из них — число 3).
2. Вероятность противоположного события
Вероятность противоположного события (событие, которое не произойдет) равна:
Пример:
Если вероятность дождя завтра P(дождь)=0.7, то вероятность, что дождя не будет:
P(нет дождя)=1−0.7=0.3
3. Сумма вероятностей для несовместных событий
Если два события A и B несовместны (не могут произойти одновременно), то вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, равна сумме вероятностей этих событий:
Пример:
При броске кубика вероятность выпадения 1 или 2:
4. Сумма вероятностей для совместных событий
Если два события A и B совместны (могут произойти одновременно), то вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, равна:
где P(A∩B) — вероятность одновременного наступления событий A и B.
Пример:
Предположим, вероятность того, что студент сдаст экзамен по математике, P(A)=0.6, а вероятность того, что он сдаст экзамен по физике, P(B)=0.5. Вероятность того, что студент сдаст оба экзамена, P(A∩B)=0.3. Тогда вероятность того, что он сдаст хотя бы один из экзаменов:
P(A∪B)=0.6+0.5−0.3=0.8
5. Произведение вероятностей для независимых событий
Если события A и B независимы (наступление одного не влияет на наступление другого), то вероятность того, что произойдут оба события, равна произведению их вероятностей:
Пример:
Вероятность того, что при двух бросках монеты выпадет орел два раза подряд:
P(орел при первом броске)=1/2,
P(орел при втором броске)=1/2
6. Произведение вероятностей для зависимых событий
Если события A и B зависят друг от друга, то вероятность их одновременного наступления вычисляется так:
где P(B∣A) — это условная вероятность того, что произойдет событие B, если известно, что произошло событие A.
Пример:
Предположим, в коробке 5 белых и 3 черных шарика. Извлекаем два шара подряд без возвращения. Вероятность того, что оба шара будут черными:
P(первый черный)=3/8,
P(второй черный при условии, что первый был черным)=2/7
7. Условная вероятность
Условная вероятность события B при условии, что произошло событие A, обозначается как P(B∣A) и вычисляется по формуле:
если P(A)≠0.
Пример:
Если вероятность того, что человек болен, P(болен)=0.1, и вероятность того, что тест окажется положительным при наличии болезни, P(положительный | болен)=0.95, то условная вероятность положительного теста при отсутствии болезни будет другой, но рассчитывается так же.
8. Формула полной вероятности
Если событие A может произойти при различных условиях B1,B2,…,Bn, где B1,B2,…,Bn — это полная группа событий, то вероятность события A вычисляется как:
Или, с использованием условных вероятностей:
9. Формула Байеса
Формула Байеса используется для нахождения условной вероятности события A, если известно, что произошло событие B:
Пример:
Допустим, вероятность того, что человек заболел, P(A)=0.01, а вероятность положительного теста при наличии болезни P(B∣A)=0.9. Формула Байеса позволяет пересчитать вероятность болезни при положительном тесте с учетом других данных, таких как вероятность ошибки теста.
Вывод
Формулы вероятности помогают анализировать различные виды событий и их комбинации. Основное правило — правильно определять зависимость или независимость событий, а также учитывать условия задачи для применения соответствующих формул.